卡特蘭數是一個特殊的數列，基於這個數列，可以找出很多有趣的問題，對於我們學計算機的而言，與這個數列打交道是不可避免了，舉一個很經典的例子。我之前在棧的壓入、彈出序列這篇文章中講到過這個給定入棧序列，判斷是否是合法的出棧序列。
與該問題類似的問題有很多，如果我們把問題進一步深入，我們去研究給定n個字符的入棧合法的出棧序列的種數是多少，這個時候，卡特蘭數就會隨之浮現出來。事實上我們耐心去思考，就能得到卡特蘭數的遞推公式，但是我們這裏直接給結論。
使用場景
給定n個元素入棧，我們一共可以得到的合法出棧序列的個數就是卡特蘭數第n項。，除此之外，這個神奇的數列還是以下諸多問題的解。
- 10個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問有多少種排列方式?
- 圓周上有標號爲1，2，3，4，……，2n的共計2n個點，這2n個點配對可連成n條弦，且這些弦兩兩不相交的方式數
- 將一個凸N+2多邊形區域分成三角形區域的方法數
- 圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數
- 遊樂園門票1元一張，每人限購一張。現在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友每人只有1元的鈔票一張，另5個小朋友每人只有2元的鈔票一張，售票員沒有準備零錢。問：有多少種排隊方法，使售票員總能找的開零錢
- 甲乙兩人比賽乒乓球，最後結果爲20∶20，問比賽過程中甲始終領先乙的計分情形的種數。
- 飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗一個一個放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因爲小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時， 姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？
- 一個汽車隊在狹窄的路面上行駛，不得超車，但可以進入一個死衚衕去加油，然後再插隊行駛，共有n輛汽車，問共有多少種不同的方式使得車隊開出城去？
- 矩陣連乘/表達式加括號/n個括號的組合
- n個節點組成不同構的二叉樹的個數
- 2n+1個不同構無度爲1的二叉樹的個數，給上個問題的所有孩子節點補上節點
- 表示所有在n×n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均爲向上或向右
- 表示用n個長方形填充一個高度爲n的階梯狀圖形的方法個數
我有充分的自信，以後肯定會遇到這些問題中的一個。這些問題的解全都是卡特蘭數，當然我的整理不可能覆蓋所有的應用，只是讓大家多見一些情形，然後碰到類似的情形學會轉換。
計算公式
先了解了應用，接下來就是這個數列的求解了。這個數列研究了這麼多年，求解方式也是很多。這裏給出幾種常用的求解公式，大家選擇適合自己的記憶即可。使用組合這個比較好記，使用連乘這個比較好寫代碼。
到最後我們再給出給出這個數列的前幾項：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862。需要注意這幾項是從0開始的。