字符串的最長迴文串：Manacher’s Algorithm

題目鏈接：Longest Palindromic Substring

1. 問題描述

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

2. 各種解法複雜度

• 暴力枚舉：O(N^2)
• 記憶化搜索：O(N^2)
• 動態規劃：O(N^2)
• Manacher’s Algorithm ： O(N)

3. Manacher’s Algorithm

步驟：

1. 字符串裏相鄰兩個字符之間插入一個 # ，開頭和結尾也加上 # 。
   例如：
   Str = “abaaba”, Trans = “#a#b#a#a#b#a#”.
   注：Trans 爲 transform

2. 聲明一個數組 P[n] ： 其中 n 爲 Trans 的長度。P[index] 表示以 index 爲中心的最長迴文串長度（不包括 index 本身）。例如：

   Trans = # a # b # a # a # b # a #
       P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0
   

   聲明變量 Cur ：表示當前迴文串最長的中心的下標（current position），初值爲0。
   聲明變量 Right ： 表示以Cur爲中心的迴文串最右一個字符所處位置。

3. 建立循環，以增量 index 爲中心，擴展 index 。也就是檢查 index 兩邊是否相等。如果相等， P[index] 加1。

   在循環體中：

   • 變量 index ：
     當前檢查的元素的下標。
   • 聲明變量 index_ mirror ：
     以Cur爲對稱軸， index 的對稱位置，index_mirror = Cur - ( index - Cur ) 。
   • 在擴展之前檢查 Right 是否大於 index ：
     如果是，那麼 P[index] 的值直接賦值爲 min(R - index, P[index_mirror]) ；否則P[index] = 0。

4. 如果 index + P[index] > Right ，將 Cur 更新爲 index 。

5. 找出 P[] 的最大值即是答案。

4. Q&A

• 爲什麼要插入 # ？
  比如 abba ，以第一個 b 的下標爲 index ，如果要比較 index 的迴文，那麼它就得比較 index 和 index+1
  如果插入 #a#b#b#a# ，第一個 b 後面的 # 下標爲 index ，則比較 index - 1 和 index + 1 這樣代碼更清晰，也更好理解。此時 # 的 P[] 值就表示該位置的迴文串長度。

• 其他
  
  如上圖。由於我們已經檢查出 Cur 位置的迴文串長度是 9 ，那麼 Cur 左右兩邊的 9 個字符是對稱的。如果 index_mirror 的 P[] 值小於等於 R-index 的值（即距離），那麼令 P[index] = P[index_mirror] ——對稱的性質。爲什麼要小於他們的距離？因爲如果大於他們的距離，例如圖中最左邊的 a ，它迴文串的範圍超出了 Cur 迴文串的範圍，超出 Cur 範圍的對稱性是未知的。從圖中我們可以看出，在對稱右邊的 a 顯然 P[] 值跟左邊的不相等，它是 1 。此時只能以 index 爲中心繼續比較（而不是直接令 P[index] = P[index_mirror] ，因爲對稱性質無法使用）。

  在檢測 index 的最大回文串時，如果檢測到 index 的迴文串長度最右側大於 Cur 的最右側，也就是 Right ，那麼將 Cur 更新爲 index 。因爲如果後面的元素本來可以用更新前 Cur 的對稱性，那麼更新後的 Cur 的對稱性它同樣可以用。而 Cur 的更新會使得更後面的元素可以用其對稱性。

參考鏈接：

1. Longest Palindromic Substring Part II
2. Manacher's ALGORITHM: O(n)時間求字符串的最長迴文子串
3. soulmachine/leetcode -- Github