時間複雜度到底怎麼算

高級工程師title的我，最近琢磨着好好刷刷算法題更高級一些，然鵝，當我準備回憶大學和麪試時候學的數據結構之時，我發現自己對這個算法複雜度的記憶只有OOOOOooo

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算法（Algorithm）是指用來操作數據、解決程序問題的一組方法。對於同一個問題，使用不同的算法，也許最終得到的結果是一樣的，但在過程中消耗的資源和時間卻會有很大的區別。

那麼我們應該如何去衡量不同算法之間的優劣呢？

主要還是從算法所佔用的「時間」和「空間」兩個維度去考量。

• 時間維度：是指執行當前算法所消耗的時間，我們通常用「時間複雜度」來描述。
• 空間維度：是指執行當前算法需要佔用多少內存空間，我們通常用「空間複雜度」來描述。

因此，評價一個算法的效率主要是看它的時間複雜度和空間複雜度情況。然而，有的時候時間和空間卻又是「魚和熊掌」，不可兼得的，那麼我們就需要從中去取一個平衡點。

時間複雜度

一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。並且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或「時間頻度」。記爲T(n)。

時間頻度T(n)中，n稱爲問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什麼規律，爲此我們引入時間複雜度的概念。算法的時間複雜度也就是算法的時間度量，記作：T(n) = O(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作算法的漸進時間複雜度，簡稱「時間複雜度」。

這種表示方法我們稱爲「 大O符號表示法 」，又稱爲漸進符號，是用於描述函數漸進行爲的數學符號

常見的時間複雜度量級有：

• 常數階$O(1)$
• 線性階$O(n)$
• 平方階$O(n^2)$
• 立方階$O(n^3)$
• 對數階$O(logn)$
• 線性對數階$O(nlogn)$
• 指數階$O(2^n)$

常數階$O(1)$

$O(1)$，表示該算法的執行時間（或執行時佔用空間）總是爲一個常量，不論輸入的數據集是大是小，只要是沒有循環等複雜結構，那這個代碼的時間複雜度就都是O(1)，如：

int i = 1;
int j = 2;
int k = i + j;

上述代碼在執行的時候，它消耗的時候並不隨着某個變量的增長而增長，那麼無論這類代碼有多長，即使有幾萬幾十萬行，都可以用$O(1)$來表示它的時間複雜度。

線性階$O(n)$

$O(n)$，表示一個算法的性能會隨着輸入數據的大小變化而線性變化，如

for (int i = 0; i < n; i++) {
	 j = i;
   j++;
}

這段代碼，for循環裏面的代碼會執行n遍，因此它消耗的時間是隨着n的變化而變化的，因此這類代碼都可以用$O(n)$來表示它的時間複雜度。

平方階$O(n^2)$

$O(n²)$ 表示一個算法的性能將會隨着輸入數據的增長而呈現出二次增長。最常見的就是對輸入數據進行嵌套循環。如果嵌套層級不斷深入的話，算法的性能將會變爲立方階$O(n^3)$，$O(n4)$，$O(n^k)$以此類推

for(x=1; i<=n; x++){
   for(i=1; i<=n; i++){
       j = i;
       j++;
    }
}

指數階$O(2^n)$

$O(2^n)$，表示一個算法的性能會隨着輸入數據的每次增加而增大兩倍，典型的方法就是裴波那契數列的遞歸計算實現

int Fibonacci(int number)
{
    if (number <= 1) return number;

    return Fibonacci(number - 2) + Fibonacci(number - 1);
}

對數階$O(logn)$

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i * 2;
}

上面的代碼，在while循環裏面，每次都將 i 乘以 2，乘完之後，i 距離 n 就越來越近了，直到i不小於n退出。我們試着求解一下，假設循環次數爲x，也就是說 2 的 x 次方等於 n，則由2^x=n得出x=log₂n。因此這個代碼的時間複雜度爲$O(logn)$

線性對數階$O(nlogn)$

線性對數階$O(nlogn) $，就是將時間複雜度爲對數階$O(logn)$的代碼循環n遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * O(logN)，也就是了$O(nlogn)$，如下，

for(m=1; m<n; m++)
{
    i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }
}

除此之外，其實還有平均情況複雜度、最好時間複雜度、最壞時間複雜度。。。一般沒有特殊說明的情況下，都是值最壞時間複雜度。

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空間複雜度

空間複雜度（Space Complexity）是對一個算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的一個量度，同樣反映的是一個趨勢，一個算法所需的存儲空間用f(n)表示。S(n)=O(f(n))，其中n爲問題的規模，S(n)表示空間複雜度。

一個算法在計算機存儲器上所佔用的存儲空間，包括存儲算法本身所佔用的存儲空間，算法的輸入輸出數據所佔用的存儲空間和算法在運行過程中臨時佔用的存儲空間這三個方面。

一般情況下，一個程序在機器上執行時，除了需要存儲程序本身的指令、常數、變量和輸入數據外，還需要存儲對數據操作的存儲單元。若輸入數據所佔空間只取決於問題本身，和算法無關，這樣只需要分析該算法在實現時所需的輔助單元即可。若算法執行時所需的輔助空間相對於輸入數據量而言是個常數，則稱此算法爲原地工作，空間複雜度爲O(1)。當一個算法的空間複雜度與n成線性比例關係時，可表示爲$0(n)$，類比時間複雜度。

空間複雜度比較常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)

空間複雜度 $O(1)$

如果算法執行所需要的臨時空間不隨着某個變量n的大小而變化，即此算法空間複雜度爲一個常量，可表示爲 O(1)
舉例：

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

代碼中的 i、j、m 所分配的空間都不隨着處理數據量變化，因此它的空間複雜度 S(n) = O(1)

空間複雜度 $O(n)$

int[] m = new int[n]
for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

這段代碼中，第一行new了一個數組出來，這個數據佔用的大小爲n，這段代碼的2-6行，雖然有循環，但沒有再分配新的空間，因此，這段代碼的空間複雜度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)

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複雜度速查表

來源：https://liam.page/2016/06/20/big-O-cheat-sheet/ 源地址：https://www.bigocheatsheet.com/

圖例

大-O 複雜度曲線

抽象數據結構的操作複雜度

數組排序

圖操作

堆操作

參考

《大話數據結構》
https://zhuanlan.zhihu.com/p/50479555