在計算樣本方差時，爲什麼分母是n−1 ？

用樣本均值代替總體均值，自由度會減1，所以分母是n-1。
嚴格的推導如下：
首先，我們先看看方差的計算公式
$\operatorname{Var}(X)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}{n}$
其中μ
是這個總體的真實均值。但是往往μ是未知的，所以我們用樣本均值$\bar{X}$來代替μ，也就是
$S_{*}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n}$
那麼這個S∗
是正確的估計嗎？我們可以計算S∗
的期望來對比一下Var(X)
。
$\begin{aligned} \mathbb{E}\left(S_{*}\right) &=\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n}\right) \\ &=\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu+\mu-\bar{X}\right)^{2}}{n}\right) \\ &=\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}{n}+\frac{\sum_{i=1}^{n} 2\left(X_{i}-\mu\right)(\mu-\bar{X})}{n}+\frac{\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar{X})^{2}}{n}\right) \\ &=\operatorname{Var}(X)+\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} 2\left(X_{i}-\mu\right)(\mu-\bar{X})}{n}+\frac{\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar{X})^{2}}{n}\right) \\ &=\operatorname{Var}(X)+\mathbb{E}\left(-2(\bar{X}-\mu)^{2}+(\bar{X}-\mu)^{2}\right) \\ &=\operatorname{Var}(X)-\mathbb{E}\left((\bar{X}-\mu)^{2}\right) \\ &=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(\bar{X}) \\ &=\operatorname{Var}(X)-\frac{1}{n} \operatorname{Var}(X) \\ &=\frac{n-1}{n} \operatorname{Var}(X) \end{aligned}$

所以
$\operatorname{Var}(X)=\frac{n}{n-1} \mathbb{E}\left(S_{*}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)}{n-1}$