補碼黑歷史
對於每個計算機專業的同學，剛開始都會接觸到二進制轉換、原碼、反碼、補碼的知識。
國內教材上是如下定義的：
原碼：最高位爲符號位，0代表整數，1代表複數，非符號位爲改數字絕對值的二進制表示。如127的原碼爲 0111 1111，-127的原碼爲 1111 1111。
反碼：正數的反碼與原碼一致；負數的反碼是對原碼按位取反（符號位不變）。如127的反碼爲 0111 1111，-127的反碼爲 1000 0000。
補碼：正數的補碼與原碼一致；負數的補碼是該數的反碼加1。如127的補碼爲 0111 1111，-127的補碼爲 1000 0001。
記住上述的定義和轉換方法，通過考試so easy。可是，如果做個有心人，難免會有兩點疑惑：1）爲什麼負數和正數的規則會不同，這和我們學習其他概念方式差別很大；2）補碼到底有什麼用，引入補碼本質是爲了解決什麼問題？
帶着上面的疑問，對比下國外的計算機教材的講解，國內的教材只寫結論，對技術產生的背景幾乎完全忽略，實際上是本末倒置。如果理解了補碼背景，徹底理解補碼並不太難。
爲什麼需要補碼
補碼是一個工程問題，它是爲解決特定工程問題而引入的。
對於8比特的二進制編碼，最多可以表示256個不同的值，如果沒有負數，我們可以用來表示0~255，如果有負數，我們可以分別表示-128~127。
計算機應該如何表示負數呢？
以4比特二進制數爲例，最多可以表示16個數，如下表，我們至少有三種方式表示負數：
偏移碼：
我們以二進制最大值1111對應十進制最大值8，二進制最小值0000對應十進制最小值-7，中間編碼進行線性對齊。
符號碼：
符號碼更直觀，固定使用最高位表示符號，0表示正數，1表示負數，非符號位的二進制數值爲要表達數字的絕對值。這種編碼相對更直觀，但是存在0和-0，所以表示範圍要少一個。
補碼:
0000表示0，以0爲中心，依次向上是每個數加1（1 = 0001、2 = 0010、3 = 0011）；依次向下，每個數字減1（因爲只有4位，減法操作時向上借位），-1 = 0000 - 1 = 1111， -2 = 1111 - 1 = 1110， -3 = 1110 - 1 = 1101。
對比上述三種編碼優劣，偏移碼和符號碼對我們理解起來很容易，但是對硬件設計卻是個難題。對於A = B + C，硬件設計者需要理解B和C每一位代表的意義，設計規則相對複雜，而對於補碼，則非常自然，只存在一個規則。
特別需要指出的，計算機內部，並沒有設計減法器，對於A = B - C，編譯器會將其轉換成 A = B + (-C)，加入C是整數，B - C在計算機內部，是直接B的補碼和C的補碼相加。
補碼對我們來說，比較難理解，爲方便換算，人們總結出上一節補碼的轉換方法，也就是我們在學習時記住的結論。
補碼的數學原理
我們繼續回到人類的世界，還是按10進制舉例，加入只有1位10進制，一共可以表示0個編碼，可以表示爲0~9，也可以表示-5~4。
按補碼思路，對應的補碼， -5 = 5，-4 = 6， -3 = 7， -2 = 8， -1 = 9 ， 0 = 0， 1 = 1， 2 = 2， 3 = 3， 4 = 4。
如果計算 4 + （-2），4 + （-2） = 4 + 10 - 2 = 4 + 8 = 12 = 2。
實際上，補碼是向高位借了一位，然後和當前數值進行求和計算，由於計算機位數有限制，會進行截取，所以高位接過來的一位對要計算的數值結果並無影響。
在只能表示一位的10進制裏，A = B + C 、A = （10 + B） + C 、A = B + （10 + C）、 A = （10 + B） + （10 + C）結果是相同的，如果是負數，和10進行結合後的結果就是補碼。