平衡二叉樹插入操作的詳細過程圖解

二叉搜索樹/二叉排序樹/二叉查找樹

• 是二叉樹、任意結點的左子樹的值均小於根節點的值，右子樹均大於根節點的值
• 沒有鍵值相等

  平衡二叉樹(AVL樹)

• 定義

  • 左右字數的高度差的絕對值不超過1，並且兩子樹都是平衡二叉樹
  • 沒有鍵值相等
  • 高度差，又名平衡因子，範圍爲[-1,0,1]，在此規定==平衡因子 bf = 右子樹的高度-左子樹的高度==

• 插入操作

  1. 當有新的結點插入之前，該樹一定是一個平衡二叉樹
  2. 按照普通搜索樹的方式插入結點cur
  3. 插入之後，調整cur的 parent.bf：插入到左邊 bf --；插入到右邊 bf++；
  4. bf變爲3種值：
     （1）0：插入結束
     （2）-1/1：調整 bf 的過程向上蔓延
     （3 ）-2/2：進行修復，
  5. 對失衡的情況進行修復
  6. 插入完成之後，該樹依然是一個平衡二叉樹

• 具體步驟

  • 通過查找，找到key的合適的位置並將key插入（如果已經存在，則放棄查找）

  • 設置並修改平衡因子

    • 設置新插入的結點 cur 的平衡因子，新插入的結點的平衡因子是 0（未調整的），因爲一定插入在葉子結點
    • 修改 cur 的父節點 parent 的平衡因子 bf
      • 如果cur是parent的左子樹，parent.bf -= 1
      • 如果cur是parent的右子樹，parent.bf += 1
    • 修改parent.bf 之後，parent.bf 的取值範圍爲 [-2,-1,0,1,2]

    • 具體情況如下表：
      

    • 對錶格的進一步說明（此處的bf一律指parent.bf）：
      • 當bf修改之前是 -1或者 1 ，修改之後變爲 0 時，即在父節點的子樹高度較小的那一邊插入了新結點，使得父結點的左右子樹一樣高，說明本次插入對整棵樹的高度是沒有影響的，即其他結點的平衡因子不會改變，因此插入結束
      • 舉個栗子：
      • 當bf修改之前是 0 ，修改之後是 -1 或 1 時，即插入之後導致父結點的左右子樹高度差1，說明這棵子樹的所有父結點的左右子樹的高度都有變化，因此其他結點的平衡因子會發生改變，需繼續向上調整
      • 舉個栗子：
      • 當bf修改之前是 -1或 1，修改之後是 -2 或 2時，即插入之後父結點的左右子樹高度差2，已經失衡，需要將當前 parent 進行調整，使之再次保證平衡，進而參考上表做出下一步操作
      • 舉個栗子：
  • 失去平衡的調整方法：

    • 解決失衡的方法口訣

      • 左左失衡，parent右旋；
      • 左右失衡，cur左旋，parent右旋；
      • 右右失衡，parent左旋；
      • 右左失衡，cur右旋，parent左旋；
    • 解析：parent爲當前失衡的結點，cur爲parent的孩子（新結點所在的子樹的根節點）
    • eg:
    • 四種失衡狀態：
      
    • 很明顯：如果從根節點到新插入的結點是一路向左，即左左失衡；如果中途向右了，即左右失衡；如果一路向右，即爲右右失衡；如果中途向左了，即右左失衡；
    • 根據不同的失衡，口訣中有不同的解決方法，接下來我們一起來驗證一下吧：
      • ”左左失衡，parent右旋“：
    • “左右失衡，cur左旋，parent右旋”：
    • “右右失衡，parent左旋”：
    • • “右左失衡，cur右旋，parent左旋”：
  • 調整之後，該樹還是一個平衡二叉樹