1、问题描述：
n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。
2、问题分析
直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。S是N的作业子集。在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。
设π是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为 aπ(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时，安排作业π(2)，…，π(n)所需的时间。
记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。
证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。这与π是N的最优调度矛盾。故T’<=T(S,bπ(1))。从而T’=T(S,bπ(1))。这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:
从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。将问题规模缩小。公式（2）说明一般情况下，对作业集S进行调度，在M2机器上的等待时间，除了需要等该部件在M1机器上完成时间，还要冲抵一部分原来的等待时间，如果冲抵已成负值，自然仍需等待M1将作业做完，所以公式取max{t-ai,0}。
4、流水作业调度的Johnson法则
设兀是作业集S在机器M2的等待时间为t时的任一最优调度。若在这个调度中，安排在最前面的两个作业分别是i 和j ，即π(1)=I,π(2)=j。则有动态规划递归式可得
其中
如果作业i和j满足min{bi,aj} ≥min{bj,ai},则称作业i和j满足Johnson不等式。如果作业i和j 不满足Johnson不等式，则交换作业i和j满足Johnson不等式。
证明 ：在作业集S中，对于机器M2 的等待时间为t的调度π，交换作业i和j 的加工顺序，得到作业集S 的另一个调度π’，它所需的加工时间为T’(S,t)=ai+aj+T(S-{i,j},tji),
当作业i和j 满足Johnson 不等式 min{bi,aj} ≥min{bj,ai}时，有
从而，tij≤tji,由此可见，换句话说，当作业i 和j不满足Johnson 不等式时，交换它们的加工顺序后，作业i和j满足Johnson 不等式，且不增加加工时间。由此可知，对于流水作业调度问题，必存在最优调度π，使得作业π(i)和π(i+1)满足Johnson 不等式
这样的调度π称为满足Johnson 法则的调度。进一步还可以证明，调度满足Johnson 法则当且仅当对任意i<j 有：
由此可知，任意两个满足Johnson 法则的调度具有相同的加工时间，从而所有满足Johnson 法则的调度均为最优调度。
5、流水作业调度问题Johnson算法
从上面的分析可知，流水作业调度问题一定存在满足Johnson法则的最优调度，且容易由下面的算法确定：
流水作业调度问题的Johnson算法：
(1)令N1={i|ai<bi},N2={i|ai>=bi};
(2)将N1中作业按ai的非减序排序；将N2中作业按bi的非增序排序；
(3)N1中作业接N2中作业构成满足Johnson法则的最优调度。
先把所有作业的ai和bi放在一起，从这之中选个最小的，如果是bi的话这个作业i就放最后，如果是ai的话这个作业就放最前，把这个已经安排好的作业从作业集中删除。重复上述步骤即可。