判质数
质数概念:在大于1的整数中,如果只包含1和本身这两个约数,就被称为质数或者叫素数。
质数性质:如果d/n能整除,那么n/d / n也能整除。
比如n = 12, 3和4都是他的约数,n的约数都是成对出现的 。在枚举的时候我们可以只枚举没对较小的一个就可以了。
给定n个正整数aiai,判定每个数是否是质数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行,每行包含一个正整数aiai。
输出格式
共n行,其中第 i 行输出第 i 个正整数aiai是否为质数,是则输出“Yes”,否则输出“No”。
数据范围
1≤n≤1001≤n≤100,
1≤ai≤2∗1091≤ai≤2∗109
输入样例:
2
2
6
输出样例:
Yes
No
#include <iostream>
using namespace std;
bool is_prime(int x)
{
if(x < 2) return false;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++)
if (x % i == 0) return false;
return true;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while(n --)
{
int x;
cin >> x;
if(is_prime(x)) puts("Yes");
else puts("No");
}
}
分解质因数
概念:从小到大枚举所有的数。
给定n个正整数aiai,将每个数分解质因数,并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行,每行包含一个正整数aiai。
输出格式
对于每个正整数aiai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后,每个质因数的底数和指数,每个底数和指数占一行。
每个正整数的质因数全部输出完毕后,输出一个空行。
数据范围
1≤n≤1001≤n≤100,
1≤ai≤2∗1091≤ai≤2∗109
输入样例:
2
6
8
输出样例:
2 1
3 1
2 3
//步骤:求a能被i整除的最小的数i(从2开始遍历),并且使用while循环用d来存底数,a/=i继续往下除,直到除不下为止。
// 输出累除的结果i和d
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
void divide(int a)
{
for (int i = 2; i <= a / i; i ++)//这里是a/i
{
if (a % i == 0)
{
int d = 0;//存底数
while(a%i == 0)
{
d ++;
a/= i;
}
cout << i << " " << d << endl;//这里是输出i,d。注意i实际上是指数
}
}
//每个质因数的底数和指数,每个底数和指数占一行
if (a > 1) cout << a << " " << 1 << endl;
puts("");
}
int main()
{
cin >> n;
while(n --)
{
int a;
cin >> a;
divide(a);
}
return 0;
}
筛质数
~n中质数有n/ln(n)个质数
按顺序删除每个数的倍数,最后剩下的就是质数。
给定一个正整数n,请你求出1~n中质数的个数。
输入格式
共一行,包含整数n。
输出格式
共一行,包含一个整数,表示1~n中质数的个数。
数据范围
1≤n≤1061≤n≤106
输入样例:
8
输出样例:
4
//步骤:1、循环i = 2,i <= n,i ++;2、当前数没有被筛过,则标记它是个质数;3、//将n的倍数删除掉
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int prime[N], cnt;
bool st[N];//标志他是否是质数
int n;
//朴素做法
// void get_primes(int n)
// {
// for (int i = 2; i <= n; i ++)//不需要n / i
// {
// //步骤要记住!!!!
// if (!st[i])prime[cnt ++ ] = n;//当前数没有被筛过,则是个质数
// for (int j = i + i; j <= n; j +=i) //将n的倍数删除掉
// st[j] = true;//标记为true
// }
// }
//埃式筛法-O(nloglogn)
// void get_primes(int n) {
// for(int i = 2; i <= n; i++) {
// if(!st[i]){
// prime[cnt++] = i;
// //跟朴素不一样的事吧这个for循环放到了这里,而且循环是从j = i,j+=i来做
// for(int j = i; j <= n; j += i)
// st[j] = true;
// }
// }
// }
//线性筛法-O(n), n = 1e7的时候基本就比埃式筛法快一倍了
//算法核心:x仅会被其最小质因子筛去
void get_primes(int x) {
for(int i = 2; i <= x; i++) {
if(!st[i]) prime[cnt++] = i;//找到质数
for(int j = 0; prime[j] <= x / i; j++) {//从0开始找j倍数
//对于任意一个合数x,假设pj为x最小质因子,当i<x/pj时,一定会被筛掉
st[prime[j]*i] = true;//倍数直接标记
if(i % prime[j] == 0) break;
/*
1.i%pj == 0, pj定为i最小质因子,pj也定为pj*i最小质因子
2.i%pj != 0, pj定小于i的所有质因子,所以pj也为pj*i最小质因子
*/
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
get_primes(n);
cout << cnt << endl;
return 0;
}
求约数
使用试除法求一个数的所有约数。
1、从小到大枚举所有约数
2、只枚举每一对约数较小的
3、如果i != n / i,才加进去
给定n个正整数ai,对于每个整数ai,请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行,每行包含一个整数aiai。
输出格式
输出共n行,其中第 i 行输出第 i 个整数aiai的所有约数。
数据范围
1≤n≤100,
2≤ai≤2∗10^9
输入样例:
2
6
8
输出样例:
1 2 3 6
1 2 4 8
//步骤:1、学会用vector容器,vector<int> a;2、如果是一个约数则存起来res.push_back(i);
//3、可能会出现n = i * i的情况两个余数相同的情况,所以需要判断一下if (i != n / i) res.push_back(n / i);
//4最后将约数排个序sort(res.begin(), res.end());
#include <iostream>
#include <vector>//存一个数的所有约数
#include <algorithm>
using namespace std;
vector<int> get_divisors(int n)
{
vector<int> res;
for (int i = 1; i <= n / i; i ++)
if (n % i == 0)//如果是一个约数,则存起来
{
res.push_back(i);
if (i != n / i) res.push_back(n / i);//可能会出现n = i * i的情况两个余数相同的情况,所以需要判断一下
}
//最后将约数排个序
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while(n --)
{
int x;
cin >> x;
auto res = get_divisors(x);//dedaox所有的约数
//循环遍历所有约数
for(auto t : res) cout << t << ' ';
cout << endl;
}
return 0;
}