KMP算法及優化
今天看到同學在複習數據結構書上的KMP算法，忽然發覺自己又把KMP算法忘掉了，以前就已經忘過一次，看樣子還是沒有真正的掌握它，這回學聰明點，再次搞明白後記錄下來。
一般字符串匹配過程
KMP算法是字符串匹配算法的一種改進版，一般的字符串匹配算法是：從主串(目標字符串)和模式串(待匹配字符串)的第一個字符開始比較，如果相等則繼續匹配下一個字符， 如果不相等則從主串的下一個字符開始匹配，直到模式串被匹配完，則匹配成功，或主串被匹配完且模式串未匹配完，則匹配失敗。匹配過程入下圖：
這種實現方式是最簡單的， 但也是低效的，因爲第三次匹配結束後的第四次和第五次是沒有必要的。
分析
第三次匹配在j = 0(a)和i = 2(a)處開始，在j = 4( c )和i = 6(b)處失敗，這意味着模式串和主串中：j = 0(a)和i = 2(a)、j = 1(b) 和 i = 3(b)、j = 2( c )和 i = 4( c )、j = 3(a) 和 i = 5( a )這四個字符相互匹配。
分析模式串的前3個字符：模式串的第一個字符j = 0是a，j = 1(b)、j = 2( c )這兩個字符和j = 0 (a )不同，因此以這兩個字符開頭的匹配必定失敗，在第三次匹配中，主串中i = 3(b)、i = 4( c )和模式串j = 1(b)、j = 2( c )相互匹配，因此匹配失敗後，可以直接跳過主串中i = 3(b)、i = 4( c )這兩個字符的匹配。
繼續分析模式串的 j = 3( a ) 和 j = 4( c ) 這兩個字符，如果模式串匹配到j = 4( c )這個字符才失敗的話，因爲j = 4©的前一個字符j = 3(a)和第一個字符 j = 0( a )是相同的，結合上一個分析得知：
1)：下一次匹配中主串已經跳過了和j = 3(a)前兩個相互匹配的字符i = 3( b )、i = 4( c )，將從i = 5(a)開始匹配。
2)：j = 3(a)和i = 5(a)相互匹配。
因此下一次匹配認爲j = 3(a)和i = 5(a)已經匹配過了，匹配從j = 4(b)和i = 6(b)開始，這樣的話也跳過了j = 3(a)這個字符的匹配。
同理可得第二次匹配也是沒必要的。
KMP算法
KMP算法匹配過程
利用KMP算法匹配的過程如下圖：
KMP算法的改進之處在於：能夠知道在匹配失敗後，有多少字符是不需要進行匹配可以直接跳過的，匹配失敗後，下一次匹配從什麼地方開始能夠有效的減少不必要的匹配過程。
在得到子串前綴和後綴的最長公共匹配字符數l後，以後在i = x,j = n處匹配失敗時，可以直接從i = x,j = l處繼續匹配(證明過程參考:嚴蔚敏的《數據結構》4.3章)，這樣問題就很明顯了，我們要求出n和l對應的值，其中n是模式串字符數組的下標，l的有序集合通常稱之爲next數組，前面兩個模式串的next數組和下標n的對應如下：
模式串2完整匹配過程
有了這個next數組，那麼在匹配的過程中我們就能在j = n處匹配失敗後，根據next[n]的值進行偏移，其中next[0]固定爲-1，代表在當前i這個位置整個模式串和主串都無法匹配成功，要從下一個位置i = i + 1及j = 0處開始匹配，模式串2的匹配過程如下：
現在知道了next數組的作用，也知道在有next數組時的匹配過程，那麼剩下的問題就是如何通過代碼求出next數組及匹配過程了。
求next數組的過程可以認爲是將模式串拆分成n個子串，分別對每個子串求前綴和後綴的最長公共匹配字符數l，這一點可以通過上圖(最長公共匹配字符數)看出來(沒有畫出l=0時的圖解)看出來。
代碼如下
求next數組的代碼如下：
//改進前
void get_next(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
next[i] = j ;
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
根據next數組求模式串在主串中的位置代碼如下：
//返回字串T在主串s第pos個位置
int Index_KMP (String S , String T , int pos)
{
int i = pos ;
int j = 1;
int next[225];
get_next2(T , next);
while( i <= S[0] && j <= T[0]){
if(j == 0 || S[i] == T[j])
{
i++;
j++;
}
else
{
j = next[j];
}
}
if( j > T[0])
{
return i - T[0];
}
else
{
return 0;
}
}
測試代碼如下：
int main()
{
char str[255] = " ababaaaba";
char str1[100] = " aab";
int next[255];
int i = 1 ;
//字串和母串[0] 是用來保存字符串的長度方便使用 ;
str[0] = 10;
next[0] = 0;
str1[0] = 3;
get_next( str1 , next) ;
printf("next 的值：\n");
for(i = 1 ; i < 4 ; i++)
{
printf("%d ", next[i]);
}
printf("\n-------------\n");
printf("子串在母串第一次出現的位置爲\n%d\n",Index_KMP ( str , str1, 0));
}
KMP算法優化
再回過頭去看模式串2的next數組的圖：
如果模式串和主串的匹配在j = 6(b) 處失敗的話，根據j = next[6] = 1得知下一次匹配從 j = 1 處開始，j = 1處的字符和j = 6處的字符同爲c，因此這次匹配必定會失敗。
同樣的，模式串和主串的匹配在j = 7©處或在j = 9(b)處失敗的話，根據next數組偏移後下一次匹配也必定會失敗。
考慮如果模式串是: aaaac，根據一般的KMP算法求出的next數組及匹配過程如下：
顯而易見，在第二次匹配失敗後，第三、四、五次匹配都是沒有意義的，j = next[3]、j = next[2]、j = next[1]、j = next[0]這四處的字符都是a，在j = 3(a)處匹配失敗時，根據模式串本身就應該可以得出結論：可以跳過j = 2(a)、j = 1(a)、j = 0(a)的匹配，直接從i = i + 1 、j = 0處開始匹配.
所以優化過後的next數組應該是：
//改進後
void get_next2(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
if(T[i] != T[j] )
{
next[i] = j ;
}
else
{ // aaaaaaabb 如果最後一個a不匹配，前面也不匹配
next[i] = next [j] ;
}
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
完整代碼
#include <stdio.h>
typedef char *String;
//改進前
void get_next(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
next[i] = j ;
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
//改進後
void get_next2(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
if(T[i] != T[j] )
{
next[i] = j ;
}
else
{ // aaaaaaabb 如果最後一個a不匹配，前面也不匹配
next[i] = next [j] ;
}
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
//返回字串T在主串s第pos個位置
int Index_KMP (String S , String T , int pos)
{
int i = pos ;
int j = 1;
int next[225];
get_next2(T , next);
while( i <= S[0] && j <= T[0]){
if(j == 0 || S[i] == T[j])
{
i++;
j++;
}
else
{
j = next[j];
}
}
if( j > T[0])
{
return i - T[0];
}
else
{
return 0;
}
}
int main()
{
char str[255] = " ababaaaba";
char str1[100] = " aab";
int next[255];
int i = 1 ;
//字串和母串[0] 是用來保存字符串的長度方便使用 ;
str[0] = 10;
next[0] = 0;
str1[0] = 3;
get_next( str1 , next) ;
printf("next 的值：\n");
for(i = 1 ; i < 4 ; i++)
{
printf("%d ", next[i]);
}
printf("\n-------------\n");
printf("子串在母串第一次出現的位置爲\n%d\n",Index_KMP ( str , str1, 0));
getchar();
}
後記
個人理解 理解 如果還不清楚請參考動態規劃之KMP字符匹配算法