KMP算法及优化
今天看到同学在复习数据结构书上的KMP算法，忽然发觉自己又把KMP算法忘掉了，以前就已经忘过一次，看样子还是没有真正的掌握它，这回学聪明点，再次搞明白后记录下来。
一般字符串匹配过程
KMP算法是字符串匹配算法的一种改进版，一般的字符串匹配算法是：从主串(目标字符串)和模式串(待匹配字符串)的第一个字符开始比较，如果相等则继续匹配下一个字符， 如果不相等则从主串的下一个字符开始匹配，直到模式串被匹配完，则匹配成功，或主串被匹配完且模式串未匹配完，则匹配失败。匹配过程入下图：
这种实现方式是最简单的， 但也是低效的，因为第三次匹配结束后的第四次和第五次是没有必要的。
分析
第三次匹配在j = 0(a)和i = 2(a)处开始，在j = 4( c )和i = 6(b)处失败，这意味着模式串和主串中：j = 0(a)和i = 2(a)、j = 1(b) 和 i = 3(b)、j = 2( c )和 i = 4( c )、j = 3(a) 和 i = 5( a )这四个字符相互匹配。
分析模式串的前3个字符：模式串的第一个字符j = 0是a，j = 1(b)、j = 2( c )这两个字符和j = 0 (a )不同，因此以这两个字符开头的匹配必定失败，在第三次匹配中，主串中i = 3(b)、i = 4( c )和模式串j = 1(b)、j = 2( c )相互匹配，因此匹配失败后，可以直接跳过主串中i = 3(b)、i = 4( c )这两个字符的匹配。
继续分析模式串的 j = 3( a ) 和 j = 4( c ) 这两个字符，如果模式串匹配到j = 4( c )这个字符才失败的话，因为j = 4©的前一个字符j = 3(a)和第一个字符 j = 0( a )是相同的，结合上一个分析得知：
1)：下一次匹配中主串已经跳过了和j = 3(a)前两个相互匹配的字符i = 3( b )、i = 4( c )，将从i = 5(a)开始匹配。
2)：j = 3(a)和i = 5(a)相互匹配。
因此下一次匹配认为j = 3(a)和i = 5(a)已经匹配过了，匹配从j = 4(b)和i = 6(b)开始，这样的话也跳过了j = 3(a)这个字符的匹配。
同理可得第二次匹配也是没必要的。
KMP算法
KMP算法匹配过程
利用KMP算法匹配的过程如下图：
KMP算法的改进之处在于：能够知道在匹配失败后，有多少字符是不需要进行匹配可以直接跳过的，匹配失败后，下一次匹配从什么地方开始能够有效的减少不必要的匹配过程。
在得到子串前缀和后缀的最长公共匹配字符数l后，以后在i = x,j = n处匹配失败时，可以直接从i = x,j = l处继续匹配(证明过程参考:严蔚敏的《数据结构》4.3章)，这样问题就很明显了，我们要求出n和l对应的值，其中n是模式串字符数组的下标，l的有序集合通常称之为next数组，前面两个模式串的next数组和下标n的对应如下：
模式串2完整匹配过程
有了这个next数组，那么在匹配的过程中我们就能在j = n处匹配失败后，根据next[n]的值进行偏移，其中next[0]固定为-1，代表在当前i这个位置整个模式串和主串都无法匹配成功，要从下一个位置i = i + 1及j = 0处开始匹配，模式串2的匹配过程如下：
现在知道了next数组的作用，也知道在有next数组时的匹配过程，那么剩下的问题就是如何通过代码求出next数组及匹配过程了。
求next数组的过程可以认为是将模式串拆分成n个子串，分别对每个子串求前缀和后缀的最长公共匹配字符数l，这一点可以通过上图(最长公共匹配字符数)看出来(没有画出l=0时的图解)看出来。
代码如下
求next数组的代码如下：
//改进前
void get_next(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
next[i] = j ;
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
根据next数组求模式串在主串中的位置代码如下：
//返回字串T在主串s第pos个位置
int Index_KMP (String S , String T , int pos)
{
int i = pos ;
int j = 1;
int next[225];
get_next2(T , next);
while( i <= S[0] && j <= T[0]){
if(j == 0 || S[i] == T[j])
{
i++;
j++;
}
else
{
j = next[j];
}
}
if( j > T[0])
{
return i - T[0];
}
else
{
return 0;
}
}
测试代码如下：
int main()
{
char str[255] = " ababaaaba";
char str1[100] = " aab";
int next[255];
int i = 1 ;
//字串和母串[0] 是用来保存字符串的长度方便使用 ;
str[0] = 10;
next[0] = 0;
str1[0] = 3;
get_next( str1 , next) ;
printf("next 的值：\n");
for(i = 1 ; i < 4 ; i++)
{
printf("%d ", next[i]);
}
printf("\n-------------\n");
printf("子串在母串第一次出现的位置为\n%d\n",Index_KMP ( str , str1, 0));
}
KMP算法优化
再回过头去看模式串2的next数组的图：
如果模式串和主串的匹配在j = 6(b) 处失败的话，根据j = next[6] = 1得知下一次匹配从 j = 1 处开始，j = 1处的字符和j = 6处的字符同为c，因此这次匹配必定会失败。
同样的，模式串和主串的匹配在j = 7©处或在j = 9(b)处失败的话，根据next数组偏移后下一次匹配也必定会失败。
考虑如果模式串是: aaaac，根据一般的KMP算法求出的next数组及匹配过程如下：
显而易见，在第二次匹配失败后，第三、四、五次匹配都是没有意义的，j = next[3]、j = next[2]、j = next[1]、j = next[0]这四处的字符都是a，在j = 3(a)处匹配失败时，根据模式串本身就应该可以得出结论：可以跳过j = 2(a)、j = 1(a)、j = 0(a)的匹配，直接从i = i + 1 、j = 0处开始匹配.
所以优化过后的next数组应该是：
//改进后
void get_next2(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
if(T[i] != T[j] )
{
next[i] = j ;
}
else
{ // aaaaaaabb 如果最后一个a不匹配，前面也不匹配
next[i] = next [j] ;
}
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
完整代码
#include <stdio.h>
typedef char *String;
//改进前
void get_next(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
next[i] = j ;
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
//改进后
void get_next2(String T , int *next )
{
int i = 1;
int j = 0 ;
next[1] = 0 ;
while( i < T[0])
{
if( j == 0 || T[i] == T[j])
{
i++;
j++;
if(T[i] != T[j] )
{
next[i] = j ;
}
else
{ // aaaaaaabb 如果最后一个a不匹配，前面也不匹配
next[i] = next [j] ;
}
}
else
{
j = next[j];
}
}
}
//返回字串T在主串s第pos个位置
int Index_KMP (String S , String T , int pos)
{
int i = pos ;
int j = 1;
int next[225];
get_next2(T , next);
while( i <= S[0] && j <= T[0]){
if(j == 0 || S[i] == T[j])
{
i++;
j++;
}
else
{
j = next[j];
}
}
if( j > T[0])
{
return i - T[0];
}
else
{
return 0;
}
}
int main()
{
char str[255] = " ababaaaba";
char str1[100] = " aab";
int next[255];
int i = 1 ;
//字串和母串[0] 是用来保存字符串的长度方便使用 ;
str[0] = 10;
next[0] = 0;
str1[0] = 3;
get_next( str1 , next) ;
printf("next 的值：\n");
for(i = 1 ; i < 4 ; i++)
{
printf("%d ", next[i]);
}
printf("\n-------------\n");
printf("子串在母串第一次出现的位置为\n%d\n",Index_KMP ( str , str1, 0));
getchar();
}
后记
个人理解 理解 如果还不清楚请参考动态规划之KMP字符匹配算法