【ACM】数据结构与算法之左偏树

左偏树的定义

• 左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆(Mergeable Heap) ，它除了支持优先队列的三个基本操作（插入，删除，取最小节点），还支持一个很特殊的操作——合并操作。

• 左偏树是一棵堆有序(Heap Ordered)二叉树。

• 左偏树满足左偏性质(Leftist Property)。

左偏树的定义 —— 左偏性质

• 定义一棵左偏树中的外节点(External Node) 为左子树或右子树为空的节点。

• 定义节点 i 的距离(dist(i)) 为节点 i 到它的后代中，最近的外节点所经过的边数。

• 任意节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离（左偏性质）。

由左偏性质可知，一个节点的距离等于以该节点为根的子树最右路径的长度。

左偏树的性质

定理：若一棵左偏树有N个节点，则该左偏树的距离不超过 ⎣log(N+1)⎦ -1。

左偏树的操作

• MakeNull —— 初始化一棵空的左偏树
• Merge —— 合并两棵左偏树
• Insert —— 插入一个新节点
• Min —— 取得最小节点
• DeleteMin —— 删除最小节点
• Delete —— 删除任意已知节点
• Decrease —— 减小一个节点的键值

左偏树的操作 —— 合并

合并操作是递归进行的。

Function Merge(A, B)
	If A = NULL Then return B
	If B = NULL Then return A
	If key(B) < key(A) Then swap(A, B)
	right(A) ← Merge(right(A), B)
	If dist(right(A)) > dist(left(A)) Then
		swap(left(A), right(A))
	If right(A) = NULL Then dist(A) ← 0
	Else dist(A) ← dist(right(A)) + 1
	return A
End Function

下面是一个合并的例子：








合并操作都是一直沿着两棵左偏树的最右路径进行的。

一棵N个节点的左偏树，最右路径上最多有 ⎣log(N+1)⎦ 个节点。

因此，合并操作的时间复杂度为：
O(log N1 + log N2) = O(log N)

左偏树的操作 —— 插入

插入一个新节点

• 把待插入节点作为一棵单节点左偏树
• 合并两棵左偏树
• 时间复杂度：O(log N)

左偏树的操作 —— 删除

删除最小节点

• 删除根节点
• 合并左右子树
• 时间复杂度：O(log N)

总结

左偏树的特点：

• 时空效率高
• 编程复杂度低

左偏树的应用：

• 可并堆
• 优先队列

参考

国家集训队2005年论文：左偏树的特点及其应用（广东省中山市第一中学 黄源河）