先放题目（应该是洛谷里的样例题目吧，侵删~ ）
洛谷-P1048 采药
这个范例emmmm 我们重新编个范例输入，为了方便思考，我们先直接考虑花费时间和价值相等时的情况，也就是拿了多少价值就花掉多少时间
22 5
1 1
5 5
6 6
9 9
20 20
拿这个新编造的范例举例，问题也就是：
在时间22之内，要拿走下面的哪几个数，才使拿走的数的总和尽量更大？
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 数 | 1 | 5 | 6 | 9 | 20 |
如果说贪心拿大的数，第一步先拿第5个数20，肉眼可以看的出来前面4个数之和为1+5+6+9=21，显然比20大，所以WA
如果说贪心拿小的数。。。。随便换一下样例就挂了（比如把5换成1）
贪心是不可能贪心了，，，动态规划就这几行代码，还是来看看怎么动态规划吧
尝试拆解成子问题
比如对于第5个数20，我们只可能进行两个操作：拿，或者不拿
如果选择拿的话，问题就变成这样：
在时间2内，拿走下面的哪几个数，才使拿走的数的总和尽量更大？
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 数 | 1 | 5 | 6 | 9 |
这个子问题解决后（等下会将怎么解决这个子问题的），得出来的总和加上这一波的20，就是选择拿的答案。
这里子问题相比原问题有两个改变：
- 因为我们拿了20，也就花了20时间，时间就从原本的22变成了2
- 因为我们的第5个数已经拿走了，所以现在只用考虑前4个数了
如果选择不拿的话，问题就变成这样：
在时间22内，拿走下面的哪几个数，才使拿走的数的总和尽量更大？
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 数 | 1 | 5 | 6 | 9 |
这个子问题解决后（这个子问题跟上面的差不多，就时间不一样，等下也会来解决掉的），得出来的答案就是选择不拿的答案。（都不拿了肯定当然就不加20了，相应的，这个子问题的时间也没有减20）
于是可以发现，无论这里的20选择拿还是不拿，问题都能变成一个关于前4个数的子问题，只是限制的时间不太一样
最后通过解决这个子问题，得到最终选择拿的答案（拿的子问题总和加上这波拿的20）和不拿的答案（不拿的子问题总和），比较这两个答案谁更大，就能得到这一波该选择拿还是不拿
我们希望通过关于前4个数的子问题来决定第5个数是拿还是不拿，但子问题中，限制的时间是由第5个数字拿不拿决定的。。。。于是喜闻乐见地套娃了
所以我们把关于前4个数的子问题变成这样：
在时间 t (t ∈ [1, n], n = 22) 内，拿走下面的哪几个数，才使拿走的数的总和尽量更大？
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 数 | 1 | 5 | 6 | 9 |
这里t是变量，范围是1到22（22是范例里给的时间来着，无论咋样t最多肯定只有22了，也就是全部选不拿的情况），也就是把时间为1到22时都求一遍，这样第5个数无论是多少，都能取到拿或者不拿的结果（比如第5个数是范例中的20，那么对于拿的子问题，就有t=22-20=2，对于不拿的子问题，就有t=22，和上面推出来的一样，然后无论是2还是22都在t的范围内，也就都已经算好值等着拿了），也就是说，解出了这个前4个数的子问题的解，就必能解出前5个数的问题的解
同理的，对于前4个数的问题，也可以换成前3个数的子问题；前3个数的问题，也可以换成前2个数的子问题······最后，换成了前1个数的子问题，那就能直接算了（t 小于这个数时不够时间必取不了，总和就是0，t 不小于这个数时就只取这个数，因为只有一个数不取也没别的了，总和就等于这个数）
这时候我们求出了前1个数的问题的解，就能推前2个数的问题的解······最后，我们就能推出前5个问题的解，然后AC !
下面推下具体过程
先回顾下数据：
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 数 | 1 | 5 | 6 | 9 | 20 |
前1个数的问题，对于每个 t 的答案如下
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最大总和 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
第1个数是1，t>=1时，就都直接刷成了1
前2个数的问题，对于每个 t 的答案如下
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最大总和 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
第2个数是2，由前1个数的问题得到的解可以推出这份解。比如t=3时, 设f(i, j) 为前 i 个问题中 t 为 j 时的解，选择拿的答案是f(1, 1)+2=1+2=3，而选择不拿的答案为f(1, 3)=1，比较后决定在t=3时，要选择拿的操作，且最大总和为3。
······
实在太多，算了算了，最后引用大佬解释的两个概念和判断一个问题能否使用DP解决
【无后效性】
一旦f(n)确定，“我们如何凑出f(n)”就再也用不着了。
要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值，而f(14),f(10),f(4)是如何算出来的，对之后的问题没有影响。
“未来与过去无关”，这就是无后效性。
（严格定义：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。）
【最优子结构】
回顾我们对f(n)的定义：我们记“凑出n所需的最少钞票数量”为f(n).
f(n)的定义就已经蕴含了“最优”。利用w=14,10,4的最优解，我们即可算出w=15的最优解。
大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这个性质叫做“最优子结构性质”。
引入这两个概念之后，我们如何判断一个问题能否使用DP解决呢？
能将大问题拆成几个小问题，且满足无后效性、最优子结构性质。
作者：阮行止
链接：https://www.zhihu.com/question/23995189/answer/613096905
最后附上递推代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(int argc, char const *argv[])
{
int t, m, times[128], values[128], bags[1024] = { 0 };
int i, j, k;
scanf("%d%d", &t, &m);
for (i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d%d", ×[i], &values[i]);
}
for (i = 0; i < m; i++)
{
// 这里循环时要从后往前，每一次都要用上一轮的结果
// 如果从前往后用的时候就变成这一轮的结果了
for (j = t; j >= times[i]; j--)
{
// 这一轮的结果等于选择不拿（bags[j]）或者选择拿（values[i] + bags[j - times[i]]）
// 各得到的结果的最大值
bags[j] = max(bags[j], values[i] + bags[j - times[i]]);
}
}
printf("%d", bags[t]);
return 0;
}
抛砖引玉，大牛绕道~
如有错误，烦请指出~
参考文章