神之懵逼-为什么根号2是无理数？

我们在小学或者是初中，肯定很早就知道了，根号2是无理数。

但是总有某些硬汉总会与老师杠上一杠：“你怎么就知道他算不完呢？”

等一下，你们看了那个师生对线系列了吗，鹤吱菌他更新了！

咳咳，言归正传，怎么证明根号2是无理数？

我们先假设根号2是有理数。

那么

\[\sqrt{2} = \frac{q}{p}且(p, q) = 1 \]

我们知道有理数是一定可以表示为p分之q的形式的。

那么将式子变形我们可以得到

\[2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \\ 2q^{2} \quad =\quad p^{2}\\ 即p^{2} \quad mod \quad 2 = 0\\ p \quad mod \quad 2 = 0\\ 因为p \quad mod \quad 2 = 0\\ 所以p^{2} \quad mod \quad 4 = 0\\ 将p^{2} \quad mod \quad 4 = 0 \quad 代入 \quad 2q^{2} = p^{2}\\ 得2q^{2} \quad mod 4 \quad = 0\\ q^{2} \quad mod \quad 2 = 0\\ q \quad mod \quad 2 = 0\\ 因为q \quad mod \quad 2 = 0 \quad 且 \quad p \quad mod \quad 2 = 0\\ 所以p与q有公因数2，p与q不互质，即(p,q) \not= 1\\ 与(p, q) = 1产生矛盾，所以\sqrt{2} \not= \frac{q}{p},\sqrt{2}不为有理数\\ 即\sqrt{2}为无理数 \]

事实证明，根号2真的是无理数。