背景，基本思路，案例模板

背景

1 動態規劃在算法中，可以說是佔半壁江山，其中重要的原因是，通過該算法，將直來直去的暴力搜索法，其計算量直接降低一個數量級，其能力是十分顯著的；
2 其利用的數學技術就是最優化原理，這一先進的效能工具；
3 本文梳理各種優秀博客及書籍中，對動態規劃模板的總結，相互映照，取長補短，形成模式化思維；然後再結合具體的案例，進行應用實踐，以期能夠養成解決這一類問題的思維；

一、基本思路

1.1 觸發條件

   是否可用動態規劃方法進行處理，一般需要遵循如下幾種條件。

1.1.1 算法的樂趣定義

1 最優化原理
	1）問題的最優子結構的性質
	2）不管之前是否是最優決策，都必須保證從現在開始的決策是在之前決策基礎上的最優決策，那麼這樣的最優子結構就符合最優化原理；
2 無後向性
	1）之前的決策隻影響當前階段的決策，當時對之後各階段的決策不產生影響；

1.2 實現步驟

1.2.1 五分鐘學算法

 動態規劃問題，一般分爲四個步驟，分別是：
 1 問題分解
 2 狀態定義
 3 轉移方程推導
 4 算法實現

1.2.2 算法的樂趣

1 定義最優子問題
	1）確定問題的優化目標及最優解判定；
	2）對決策過程分階段；可按照時間空間順序或者問題演化狀態；
2 定義狀態
	1）既是決策對象，也是決策的結果；
	2）對起始狀態施加決策，狀態發生變化，得到決策的結果狀態；
	3）狀態的定義是建立在子問題定義的基礎上，因此狀態必須滿足“無後向性”。必要時，可以增加狀態的維度，引入更多的約束條件，使得狀態定義滿足“無後向性”條件；（什麼案例？裝配線問題，揹包問題中的剩餘容量約束）
3 定義決策與狀態轉移方程
	1）從n-1階段，到n階段的演化規律；
	2）如果狀態選擇不合適，導致子問題之間沒有重疊，也就不存在狀態轉移關係，會退化爲類似分治法那樣的樸素遞歸搜索算法；
4 確定邊界條件
	1）遞歸終結條件；
	2）對於遞推關係直接實現的動態規劃方法，需要確定狀態轉移方程遞歸式的初始條件或者邊界條件；

1.2.3 mu

muyids
動態規劃包含三個重要概念：最優子結構，邊界，狀態轉移公式
1 最優子結構
2 邊界：邊界是最簡單的最優子結構，無需再簡化便可得到結果；如果一個問題沒有邊界，將無法得到有限的結果；
3 狀態轉移方程；
針對本段話，我認爲邊界這塊強調的好，此外，我認爲邊界有兩個維度的含義，一是廣義上的最優子結構是一類邊界，二是狹義上的每個元素的取值範圍，也可以看做是一種邊界；
而將兩者綜合在一起看，後者就是前者細分後的值；

1.3 案例模板

 基於上述1.1和1.2 進行描述，上面有，下面再寫；

1.4 其他博文一針見血的話

1 動態規劃說起來很高大上，說白了是以空間換時間，將計算結果封存起來，避免重複計算；

二、案例彙總

2.1 二維空間接雨水

題目描述

2.1.1 觸發條件

1 最優化原理
1）每一列的最大盛水量之和相加，即爲總的盛水量；
2 無後向性
1）當某一列盛水量確定之後，不會發生改變，並且對之後決策不會產生影響；

2.1.2 實現步驟

1 問題分解
	1）子問題是哪一個？
	a 每一列的盛水量，是一個子問題；
	b 當前列左（右）側的最大高度；然後借用木桶原理計算，即會演化爲子問題a
	2）最優解
	所有子問題的和，就是全局最優；

2 狀態定義
 1）當前列左（右）側最大高度--maxLeft, maxRight;
 2）當前列的高度--height[i]
 3）當前列的儲水量； 
 
3 轉移方程推導
 1）maxLeft[i] = max(maxLeft[i-1], height[i-1])
 
4 邊界條件
 1）maxLeft/maxRight的i邊界是[0, length - 1];
 2） 初始條件：maxLeft[0] = 0, maxRight[length - 1] = 0; 因爲左右兩側不存在儲水的情況；

2.1.3 代碼

見題目代碼

#define fmax(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define fmin(a, b) (((a) > (b)) ? (b) : (a))
int trap(int* height, int heightSize){
    // 基於列進行查找處理；
    // 1 求解每列的左右兩側的最大值；
    // 2 針對每一個位置的值，基於木桶原理，進行求解；
    int i, totalNum, min;
    int *maxLeft = malloc(heightSize * sizeof(int));
    int *maxRight = malloc(heightSize * sizeof(int));
    totalNum = 0;
    for (i = 1; i < heightSize - 1; i++) {
        maxLeft[i] = fmax(maxLeft[i - 1], height[i - 1]); 
    }
    for (i = heightSize - 2; i > 0; i--) {
        maxRight[i] = fmax(maxRight[i + 1], height[i + 1]);
    }
    for (i = 1; i < heightSize - 1; i++) {
        min = fmin(maxLeft[i], maxRight[i]);
        if (min > height[i]) {
            totalNum = totalNum + min - height[i];
        }
    }
    free(maxLeft);
    maxLeft = NULL;
    free(maxRight);
    maxRight = NULL;
    return totalNum;
}

2.2 最長迴文字符串

添加鏈接描述

2.2.1 觸發條件

1 最優化原理
1）結合中心擴展法，每一個字母爲中心的最長迴文字符中，選擇其中最大的；
2 無後向性
1）當前字符爲中心的求解，對其他字符沒有影響

2.2.2 實現步驟

1 問題分解
	1）求解每個字符的最長迴文字符；
	2）每個字符的求解方式：當前字符爲中心，向外擴展；
2 狀態定義
	1）中心點的左邊座標；--left
	2）右邊座標；--right
	3）當前字符位置的最長迴文長度--length
	4）中心點--i;
	5）當前求出的最長迴文字符，初始值是1--maxLen;
3 狀態轉移方程
	1）dp[left, right] = dp[left + 1, right - 1] 與 s[left] ?= s[right]；
	2）注意中心點起始位置，存在與中心點相同的情況
	if (s.charAt(l) == s.charAt(r) && (r - l <= 2 || dp[l + 1][r - 1]))
	3）狀態轉移方程爲當前階段，然後for循環驅動變化；

2.2.3 代碼

public String longestPalindrome(String s) {
        if (s == null || s.length() < 2) {
            return s;
        }
        int strLen = s.length();
        int maxStart = 0;  //最長迴文串的起點
        int maxEnd = 0;    //最長迴文串的終點
        int maxLen = 1;  //最長迴文串的長度

        boolean[][] dp = new boolean[strLen][strLen];

        for (int r = 1; r < strLen; r++) {
            for (int l = 0; l < r; l++) {
                if (s.charAt(l) == s.charAt(r) && (r - l <= 2 || dp[l + 1][r - 1])) {
                    dp[l][r] = true;
                    if (r - l + 1 > maxLen) {
                        maxLen = r - l + 1;
                        maxStart = l;
                        maxEnd = r;

                    }
                }

            }

        }
        return s.substring(maxStart, maxEnd + 1);

    }

作者：reedfan
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/solution/zhong-xin-kuo-san-fa-he-dong-tai-gui-hua-by-reedfa/
來源：力扣（LeetCode）
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2.3 跳石板

跳石板

2.3.1 觸發條件

1 最優化原理
1）從前往後推導，每一步的最優，達到終點的最優；
2 無後向性
1）達到當前步驟是最優後，那麼從當前步開始的之後，都取決於之後的決定，而與之前的步驟無關；

2.3.2 實現步驟

1 問題分解
	1）求解到達每一步的最小步數；
	2）然後以此類推，找出到達最後終點的步數；
2 狀態定義
	1）當前的石板位置--i;
	2）到達當前石板的最小步數--dp[i];
	3）下一步能夠走的步數--k;
	4）存儲所能到達的下一個節點的最小步數--dp[i + k];
3 狀態轉移方程推導
	1）dp[i + k] = min(dp[i + k], dp[i] + 1);
4 邊界條件
	0）step = m - n + 1;
	1）i屬於[0,  step - 1]

2.4 把數字翻譯成字符串

題目

2.4.1 觸發條件

2.4.2 實現步驟

1 問題分解
1）子問題爲求出【1-n】中的k位翻譯數字的最優，然後不斷拼接直到獲取n位字符串的最優；
2 狀態定義
1）當前字符長度--i--[0, count - 1]
2）當前位置的最大長度--dp[i]
3 狀態轉移方程
分爲兩種情況，在‘a’-'z'之間，則說明可以使用字母表示兩位數，否則，要麼不能跳轉，或者高位數是‘0’，本質上仍舊爲一位數；
1）dp[i] = dp[i-1];
2）dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
4 邊界條件及實現
1）dp[0] = 1;
2）dp[1]的求解，需要單獨拎出來，因爲它不適用於dp[i - 2];
3）其他取值範圍，在狀態定義時已經寫過；

2.4.3 其他

1 我在本題花費時間比較長的非智力因素是：起始位置爲零或者爲一，沒有規劃好；
2 關於數字轉化爲字符數組的兩種方法，位於csdn的另一篇文章的[2.2小節](https://blog.csdn.net/qq_31382031/article/details/105344489)進行記錄；

【leetcode】動態規劃案例彙總

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