常微分方程(ODE)的求解
常微分方程的求解使用dsolve命令
>> clear;
>> syms y(t) a;
>> q = diff(y,t,1)==a*y;
>> s = solve(q)
s =
C1*exp(a*t)
我們還可以指定常數值，帶入：
>> C1 = 2;a = 4;
>> f = subs(s)
f =
2*exp(4*t)
初始條件作爲參數放在後面，注意要使用賦值號。：
>> syms f(t) ;
>> q = diff(f,t,1)==f*t/(t-5);
>> s = dsolve(q,f(0)==2)
s =
-(2*exp(t + 5*log(- 5 + t)))/3125
二階或者更高階的處理方法類似：
- 使用syms聲明變量:
由於求解的是微分方程，所以f跟自變量是函數關係，但具體的表達式不清楚，所以我們可以直接聲明：
syms f(t);後面也可以跟上其它未知數 - 根據階數使用diff命令：
固定用法:
diff(f,t,n)
f代表因變量，t代表自變量，也就是對誰求導，n是方程的階數。 - 然後寫出等式：
固定格式：
q = 方程左邊==方程右邊 - 然後使用dsolve命令，並將結果返回給一個變量
當初始條件中含有一階導數的條件時，我們先要把一階導數表示出來，然後將條件帶入：
>> syms f(t);
>> q = diff(f,t,2)-f==0;
>> cond1 = f(0)==-1;
>> cond2 = diff(f,t,1);
>> s = dsolve(q,cond1,cond2(0)==2)
s =
exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
例題：求下列方程的解並繪製t在0～10之間的圖像
>> syms f(t);
>> q = diff(f,t,1)==t+3;
>> cond = f(0)==7;
>> s = dsolve(q,cond)
s =
(t*(6 + t))/2 + 7
繪製圖形：
例題：求解下面的方程並繪製圖像以及它的漸近線。
>> syms y(t) ;
>> q = diff(y,t,1)==y.^2;
>> cond1 = y(0)==1;
>> s = dsolve(q,cond1)
s =
-1/(- 1 + t)
繪製圖形：
我們看到解s，所以漸近線只能出現在分母等於0的地方，我們把分母單獨拿出來，求它的根：
>> d = (t-1);
>> root = solve(d==0)
root =
1
接下來繪製漸近線：
>> plot(double(root)*[1 1],[-2 2],'--')
例題：求解下式並繪製t在-50～50之間的圖像。
dsolve默認使用t作爲獨立變量，但題目中的變量爲x，所以我們要更改自變量。
>> syms f(x);
>> q = diff(f,x,2)-(sin(x)/x).*(1-2/(x.^2))-2*cos(x)/(x.^2)==0;
>> cond1 = f(0)==2;
>> cond2 = diff(f,x,1);
>> s = dsolve(q,cond1,cond2(0)==0)
s =
3 - sin(x)/x
-
還是要重複提醒的是，要注意賦值號跟等號：
一般格式是：方程=方程左邊公式==方程右邊公式
繪製函數圖像：
例題：求方程的通解並且在-1~1範圍內繪製C1=0，10，20，30的圖像
方程的通解：
>> syms y(t);
>> q = diff(y,t,1)==-y/(sqrt(1-t.^2));
>> s = dsolve(q)
s =
C1*exp(-asin(t))
然後我們帶入C1的值求方程的特解：
>> C1 = [0 10 20 30];
>> f = subs(s)
f =
[ 0, 10*exp(-asin(t)), 20*exp(-asin(t)), 30*exp(-asin(t))]
C1=0圖像：
C1=10圖像：
C1=20圖像：
C1=30圖像：
