常微分方程(ODE)的求解
常微分方程的求解使用dsolve命令
>> clear;
>> syms y(t) a;
>> q = diff(y,t,1)==a*y;
>> s = solve(q)
s =
C1*exp(a*t)
我们还可以指定常数值,带入:
>> C1 = 2;a = 4;
>> f = subs(s)
f =
2*exp(4*t)
初始条件作为参数放在后面,注意要使用赋值号。:
>> syms f(t) ;
>> q = diff(f,t,1)==f*t/(t-5);
>> s = dsolve(q,f(0)==2)
s =
-(2*exp(t + 5*log(- 5 + t)))/3125
二阶或者更高阶的处理方法类似:
- 使用syms声明变量:
由于求解的是微分方程,所以f跟自变量是函数关系,但具体的表达式不清楚,所以我们可以直接声明:
syms f(t);后面也可以跟上其它未知数 - 根据阶数使用diff命令:
固定用法:
diff(f,t,n)
f代表因变量,t代表自变量,也就是对谁求导,n是方程的阶数。 - 然后写出等式:
固定格式:
q = 方程左边==方程右边 - 然后使用dsolve命令,并将结果返回给一个变量
当初始条件中含有一阶导数的条件时,我们先要把一阶导数表示出来,然后将条件带入:
>> syms f(t);
>> q = diff(f,t,2)-f==0;
>> cond1 = f(0)==-1;
>> cond2 = diff(f,t,1);
>> s = dsolve(q,cond1,cond2(0)==2)
s =
exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
例题:求下列方程的解并绘制t在0~10之间的图像
>> syms f(t);
>> q = diff(f,t,1)==t+3;
>> cond = f(0)==7;
>> s = dsolve(q,cond)
s =
(t*(6 + t))/2 + 7
绘制图形:
例题:求解下面的方程并绘制图像以及它的渐近线。
>> syms y(t) ;
>> q = diff(y,t,1)==y.^2;
>> cond1 = y(0)==1;
>> s = dsolve(q,cond1)
s =
-1/(- 1 + t)
绘制图形:
我们看到解s,所以渐近线只能出现在分母等于0的地方,我们把分母单独拿出来,求它的根:
>> d = (t-1);
>> root = solve(d==0)
root =
1
接下来绘制渐近线:
>> plot(double(root)*[1 1],[-2 2],'--')
例题:求解下式并绘制t在-50~50之间的图像。
dsolve默认使用t作为独立变量,但题目中的变量为x,所以我们要更改自变量。
>> syms f(x);
>> q = diff(f,x,2)-(sin(x)/x).*(1-2/(x.^2))-2*cos(x)/(x.^2)==0;
>> cond1 = f(0)==2;
>> cond2 = diff(f,x,1);
>> s = dsolve(q,cond1,cond2(0)==0)
s =
3 - sin(x)/x
-
还是要重复提醒的是,要注意赋值号跟等号:
一般格式是:方程=方程左边公式==方程右边公式
绘制函数图像:
例题:求方程的通解并且在-1~1范围内绘制C1=0,10,20,30的图像
方程的通解:
>> syms y(t);
>> q = diff(y,t,1)==-y/(sqrt(1-t.^2));
>> s = dsolve(q)
s =
C1*exp(-asin(t))
然后我们带入C1的值求方程的特解:
>> C1 = [0 10 20 30];
>> f = subs(s)
f =
[ 0, 10*exp(-asin(t)), 20*exp(-asin(t)), 30*exp(-asin(t))]
C1=0图像:
C1=10图像:
C1=20图像:
C1=30图像: