集合論（一）
這部分內容因爲高中接觸過，這種熟悉感就會降低心裏對新知識難度的畏懼感，難點還是利用coq語言證明相關結論，文末貼了一些編輯時用到的鏈接。關於coq語言會在後邊發一些學習筆記，算是加深自己的理解，也希望幫助到大家。
基本概念
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引入：
不精確的自然語言→精確的集合語言：如 Q(x)：x是好人，那麼當有一個對象時，無法精確地判定其是否爲好人，每個人都有自己的主觀意願，那麼如果我們引入一個Set，枚舉出具有該斷言的所有對象，將判斷Q(x)轉化爲判斷x是否在Set裏，就能無二義地證明Q(x)爲0還是爲1（當然現實中我們對集合的劃分也會出現歧義，在離散數學中集合是可以精確界定的，這也體現了數理邏輯中的嚴謹性） -
集合論
1.集合論是表達數學的基礎語言，即所有的數學概念都是用集合來表示的
2.集合是對變量的進一層抽象，高中我們不不需要知道x,y具體表示的是什麼，只需要研究x,y之間的關係，集合論中也不需要知道A,B具體代表什麼，只需要研究其之間的關係，使抽象層面更高一層。
3.由於集合是一種最原始的概念，我們不對集合有精確的定義，就如同我們不會給1,2,3下一個精確的定義。
4.集合中有一組一階邏輯描述的公理Zermelo–Fraenkel set theory
5 思想：encapsulate，將邏輯封裝成集合上的運算，邏輯運算轉換爲集合運算過程
6 可以精確確定x是否屬於定義好的集合S -
集合
直觀上說，把使具體謂詞P(x)爲真的對象全體稱爲一個集合，用大寫字母S,R,T…表示
⭐元素 s∈R s∉R （非黑即白）
⭐集合的表示
1 枚舉法：有限元素或有規律無限元素
{1,2,3} {0,2,4,6,…}
2 描述法（用精確的語言）
{x|P(x)} {x|x是小鬼的粉絲}
⭐集合和謂詞的關係
P(x)~> Sp={x|P(x)}
S~> PS(x)=x∈S
⭐其他概念補充
1 單點集{a}
2 有限集合 無限集合
3 |S|表示集合中元素的個數，稱爲該集合的基數
|N|=∞
⭐外延公理 A=B
1 枚舉法表示與元素出現次序，重複出現無關
{1，2，3}={3，2，1}
{2，2，2}={2}
2 集合的表示方法不唯一
※利用ZF證明兩個集合相等
∀x(x∈A↔x∈B)
⭐集合的包含關係
1 subset superset iff ∀x(x∈A→x∈B) 記作A⊂B或者B⊃A
A⊂B~>∀x(A(x)→B(x))爲真
2 真包含關係
（A⊂B）∧∃x（x∈B∧x∉A）
※注意區分⊂和∈
如果一個集合跨次元了，那麼就可能兩個關係同時成立
比如A={1，2，3} B={1，2，3，{1，2，3}}
⭐判斷兩個集合相等
A=B
⇔∀x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈A))
⇔∀x(x∈A→x∈B)∧∀x(x∈B→x∈A)
⇔A⊂B∧B⊂A
A⊂A（自反性）
if A⊂B∧B⊂C then A⊂C（傳遞性）
⭐Univers&Empty Set
全集合U：包含所有討論對象，但是不包含自身（會引起悖論）
∀x（x∈U)
Empty Set
∀x(x∉∅)
證明：if A is a Set ,then ∅⊂A證明：∀x(x∈∅→x∈A),前提爲假
空集可以是其他集合的元素
空集是唯一的
在邏輯運算中：U just likes T,∅likes F.
集合上的運算
運算的定義（部分簡單內容跳過，邏輯公式可自己寫出）
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交併差運算（差運算也可以看作取補）
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不相交
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集合運算恆等式和不等式（類比命題公式）
注意：
1 集合運算沒有定義優先級別
2 集合運算和邏輯運算本質上相同，所以可以將相關公式運用到集合運算 -
Complementary Set
唯一性定理：B是A補集的充要條件是：
A∪B=U∧A∩B=∅
證明：B=(A∪A補)∩B=(A∩B)∪(A補∩B)=(A∩A補)∪(A補∩B)=A補∩(A∪B)=A補
補的恆等式和不等式
補運算相當於邏輯否定運算 -
相關證明：運用邏輯部分的知識
文氏圖和範式 Venn diagram
- 不同區域的編號表示（求集合解析式）
最後貼幾個不錯的網站
在線畫韋恩圖，比較簡單的操作
生成latex表格
生成latex數學公式