§9 中位數和順序統計量

最值問題

1. 找到最大值：逐一比較
   $n-1$
2. 同時找到最大值和最小值：兩兩比較，再與不變量比較
   $2n-2$ $\rightarrow$ $3 \lfloor n/2 \rfloor$
3. 找到次大值或次小值：錦標賽，注意記錄
   $n+\lceil lgn \rceil -2$

最壞時間爲線性的選擇算法

1. $O(n)$的選擇算法：SELECT
   1）將輸入的n個無序元素5個一組劃分，找出每組中位數$\quad O(n)$
   2）對每組找出的$\lceil n/5 \rceil$箇中位數，遞歸調用SELECT再找出其中位數$x$ $\quad T(\lceil n/5 \rceil)$
   3）用$x$對數組進行劃分$\quad O(n)$
   4）對劃分出來的區域遞歸調用SELECT繼續找$\quad \leq T(7n/10 + 6)$
   $T(n) \leq \begin{cases} O(1) ,& n < 140\\ T(\lceil n/5 \rceil) + T(7n/10 + 6) + O(n), & n \geq 140 \end{cases}$

2. 題目
   劃分遞歸就好
3. 題目
   
   和上一題一樣，也是劃分遞歸，只不過這裏指明瞭是第$k$個，就加個$lgk$
4. 題目
   先找到中位數$\quad O(n)$
   再遍歷數組求每個數和中位數的差的絕對值$\quad O(n)$
   再在差的絕對值中找第$k$小的$\quad O(n)$
5. 題目
   $lgn$當然是二分遞歸

MEDIAN(X, Y, n)
    if n == 1
        return min(X[1], Y[1])
    if X[n / 2] < Y[n / 2]
        return MEDIAN(X[n / 2 + 1..n], Y[1..n / 2], n / 2)
    return MEDIAN(X[1..n / 2], Y[n / 2 + 1..n], n / 2)