一、簡介
在上一篇KMP算法中已經介紹了KMP使用next數組進行求解的方法（https://blog.csdn.net/not_say/article/details/105291946），這一篇將講述另外一種求解思路--利用確定有限狀態自動機和動態規劃的思路進行求解。
主要是參考了知乎一個專欄的一篇文章，內容非常詳細，配有動態圖，建議大家去看這篇文章，我自己寫的這篇基本來源於它，然後是爲了幫助自己理解，所以用博客的形式寫出來，同時加入自己的理解，可能沒有那麼詳細。文章鏈接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/83334559
二、如何理解這裏的狀態機
同樣沿用上一篇的字符串命名，父字符串名稱爲father，子字符串名稱爲son。這裏的狀態機和動態規劃的功能與上一篇的next數組相似，都是爲了確定子串回退的距離，減少不必要的對比。
爲什麼說 KMP 算法和狀態機有關呢？是這樣的，我們可以認爲 son 的匹配就是狀態的轉移。比如當 son = "ABABC"：
如上圖，圓圈內的數字就是狀態，狀態 0 是起始狀態，狀態 5（son.length）是終止狀態。開始匹配時 son 處於起始狀態，一旦轉移到終止狀態，就說明在 father 中找到了 son。比如說當前處於狀態 2，就說明字符 "AB" 被匹配：
另外，處於不同狀態時，son 狀態轉移的行爲也不同。比如說假設現在匹配到了狀態 4，如果遇到字符 A 就應該轉移到狀態 3，遇到字符 C 就應該轉移到狀態 5，如果遇到字符 B 就應該轉移到狀態 0：
好了，內容引用到這裏，按照我自己的理解來描述一下這個狀態機的流轉情況：
1、將子串的匹配程度理解爲狀態的轉移，開始的時候或者一個都沒匹配的時候狀態是0.
2、當匹配到1個、2個、3個、4個的時候，狀態分別爲1、2、3、4。
3、當匹配5個的時候狀態是5，數字也就是子串的長度。這時候就表示father中匹配到了son，起始下標就是此時A的位置。也就是i - son.length() + 1
4、這裏是將子串自身後面的字符作爲參照，假想匹配father時會遇到的字符，從而形成一個二維座標圖。例如下圖就是“ABABC的”狀態流轉二維圖：
二維圖是用一個二維數組表示，用ASCII碼0-255表示接下來可能遇到的字符，數值表示遇到此字符時的下一個狀態。當依次遇到A、B、A、B、C時，狀態纔會流轉到5，表示匹配成功。
5、匹配順利前進的情況就如上面所說，匹配不成功則需要回退，但是具體回退到什麼位置，則需要藉助一個輔助狀態，“labuladong”將其稱爲“影子狀態”。
三、影子狀態
所謂影子狀態，就是和當前狀態具有相同的前綴，用變量X表示，比如下圖：
當前狀態 j = 4，其影子狀態爲 X = 2，它們都有相同的前綴 "AB"。因爲狀態 X 和狀態 j 存在相同的前綴，所以當狀態 j 準備進行狀態回退的時候（遇到的字符 c 和 son[j] 不匹配），可以通過 X 的狀態轉移圖來獲得最近的重啓位置。
那爲什麼可以這樣呢？
原文的回答是這樣的：
爲什麼這樣可以呢？因爲：既然 j 這邊已經確定字符 "A" 無法推進狀態，只能回退，而且 KMP 就是要儘可能少的回退，以免多餘的計算。那麼 j 就可以去問問和自己具有相同前綴的 X，如果 X 遇見 "A" 可以進行「狀態推進」，那就轉移過去，因爲這樣回退最少。
你也許會問，這個 X 怎麼知道遇到字符 "B" 要回退到狀態 0 呢？因爲 X 永遠跟在 j 的身後，狀態 X 如何轉移，在之前就已經算出來了。動態規劃算法不就是利用過去的結果解決現在的問題嗎？
其實換句話來說，就是用 X 來跟隨 j 的腳步，當 j 遇到新的字符時，如果與預期的值一致，則狀態加 1 ，否則回退到影子。而同時，影子從 0 開始，當遇到一個字符的時候，X = dp[X][son.charAt(j)， 意思是等於X此時位置如果遇到 j 當前遇到的字符時將要轉移的狀態。這個狀態是 j 之前所經歷過的。如果這句話還是不能很好理解的話，那就再使用上一篇說的next數組的方式來幫助理解，通過debug發現，X的狀態值，其實就是包含當前字符的最長相同前綴後綴（注意，這裏理解爲當前）。X的值其實就是爲了記錄當 j 的字符不匹配時應該回退到的位置。
四、代碼
public class KMP {
private int[][] dp;
private String son;
/**
* 使用二維數組，利用有限狀態機的思想--確定有限狀態自動機、動態規劃
*/
public KMP(String son) {
this.son = son;
//son子串長度，也是狀態的最大值
int M = son.length();
//dp[狀態][字符--ASCII碼] = 下個狀態
dp = new int[M][256];
//遇到第一個字符則推進一步，否則其他的都是0
dp[0][son.charAt(0)] = 1;
//影子狀態，初始爲0 --所謂影子狀態，就是和當前狀態具有相同的前綴
int X = 0;
// 當前狀態j從1開始
for (int j = 1; j < M; j++) {
//c代表此時要遇到的字符，父串的字符， ASCII從0-256
for (int c = 0; c < 256; c++) {
if (son.charAt(j) == c) {
//遇到的字符跟此時子串的字符抑制，則推進一步
dp[j][c] = j + 1;
} else {
//不是的話則重啓，回退到影子狀態
dp[j][c] = dp[X][c];
}
}
//更新影子狀態
X = dp[X][son.charAt(j)];
}
}
public int search(String father) {
int M = son.length();
int N = father.length();
// son 的初始態爲 0
int j = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
// 當前是狀態 j，遇到字符 father[i]，
// son 應該轉移到哪個狀態？
j = dp[j][father.charAt(i)];
// 如果達到終止態，返回匹配開頭的索引
if (j == M) {
return i - M + 1;
}
}
// 沒到達終止態，匹配失敗
return -1;
}
public static void main(String[] args) {
String son = "ABABCC";
String father = "ABABEABABCABABA";
KMP kmp = new KMP(son);
int[][] dp = kmp.dp;
System.out.println(kmp.search(father));
}
}
五、自述
這篇文章到此結束了，大家可以去看我參考的那篇文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/83334559），自此我也只是大概瞭解了算法的思路，自我感覺並沒有完全理解透測。意思就是僅限於跟着思路和代碼來了解，但是並不能學以致用，遇到這個算法的變體或者另類的描述，我可能無法利用這個思路來寫出合格的代碼。因爲後續會找時間去找相關的題目做一下。
有問題的朋友可以通過留言來進行討論，描述錯誤或者不嚴謹的地方也請指出～