LeetCode[62] 不同路徑（DP）

本題目算是面試比較常見的了，主要考察對算法的理解，最優的解法是動態規劃，本篇寫一下本題的動態規劃思路和解法。

題目描述

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角（起始點爲圖中的 “Start”），機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（圖中標記爲 “Finish”）。問總共有多少條不同的路徑？

示例一：

輸入：m = 3, n = 2
輸出：3
解釋：從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例二：

輸入：m = 7, n = 3
輸出：28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 題目數據保證答案小於等於 2 * 10^9 (int類型)

題解思路

1. 暴力法：使用 DFS 遍歷，從 （1，1）-> （m, n），當到達右下角時，計數加一，直到遍歷結束。只能解決一部分用例，會執行超時，時間複雜度 O（N^2）
2. 動態規劃：開闢新的狀態空間，保存每個點的狀態值，該狀態值表示到達該點所能走的路數。最終到達右下角時，該點所記錄的路數就是總共的不同路徑數。因爲只需要遍歷一次二維數組的狀態值，因此時間複雜度爲 O（N）

如何求每個點的狀態值呢？這個問題就用到了數學歸納法了，觀察可得：
當 m = 1, n = 1 時，起點不用向右和向下就已到達，路數爲 1；
當 m = 1, n = 2 時，起點只能向下一步到達目標點，路數爲 1；
當 m = 2, n = 1 時，起點只能向右一步到達目標點，路數爲 1；
當 m = 2, n = 2 時，起點可以往右一步再往下一步，或者先往下再往右到達目標點，路數爲 2；
當 m = 2, n = 3 時，起點可以往下兩步再往右一步，或者到達點（2，2）再往下一步，而到達點（2，2）的路數爲 2，因此到達目標點的路數總共 爲 3；
以此類推，可以發現規律，到達點（m, n）的路數是（m - 1, n）的路數加（m, n - 1）的路數和，即：status[m][n] = status[m - 1][n] + status[m][n-1]（狀態轉移方程）

代碼實現

遞歸代碼

int status[101][101] = {0};
int uniquePaths(int m, int n)
{
    if(m <= 0 || n <= 0) {
        return 0;
    }
    if(m == 1 || n == 1) {
        return 1;
    }
    // 當該點狀態值 > 0 時，說明已經計算過路徑數，無需重複計算
    if(status[m][n] > 0) {
        return status[m][n];
    }
    status[m - 1][n] = uniquePaths(m - 1, n);
    status[m][n - 1] = uniquePaths(m, n - 1);
    status[m][n] = status[m - 1][n] + status[m][n - 1];
    return status[m][n];
}

迭代代碼

int uniquePaths(int m, int n)
{
    int status[101][101] = {0};
    int i, j;
    for(i = 1; i <= m; i++) {
        for(j = 1; j <= n; j++) {
            if(i == 1 || j == 1) {
                status[i][j] = 1;
            }
            else {
                status[i][j] = status[i - 1][j] + status[i][j -1];
            }
        }
    }
    return status[m][n];
}