在Java中實現拉格朗日插值法

拉格朗日插值法的定義(引自維基百科)

 

對某個多項式函數，已知有給定的k + 1個取值點：

 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),⋯⋯,(xk,yk)

其中xj對應着自變量的位置，而yj對應着函數在這個位置的取值。

假設任意兩個不同的xj都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式爲：

 

具體的

import java.util.Scanner;

public class Lagrange {
    private static double[] Lag(double x[],double y[],double x0[]){
        int m=x.length;
        int n=x0.length;
        double y0[]=new double[n];
        for(int ia=0;ia<n;ia++) {
            double j=0;
            for(int ib=0;ib<m;ib++) {
                double k=1;
                for(int ic=0;ic<m;ic++) {
                    if(ib!=ic){
                        k=k*(x0[ia]-x[ic])/(x[ib]-x[ic]);
                    }
                }
                k=k*y[ib];
                j=j+k;
            }
            y0[ia]=j;
        }
        return y0;
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("請輸入給定的插值點數量：");
        Scanner input=new Scanner(System.in);
        int m=input.nextInt();
        System.out.println("請輸入需求解的插值點數量：");
        int n=input.nextInt();
        double x[]=new double[m];
        double y[]=new double[m];
        double x0[]=new double[n];
        System.out.println("依次輸入給定的插值點:");
        for(int i=0;i<m;i++){
            x[i]=input.nextDouble();
        }
        System.out.println("依次輸入給定的插值點對應的函數值:");
        for(int i=0;i<m;i++){
            y[i]=input.nextDouble();
        }
        System.out.println("依次輸入需求解的插值點");
        for(int i=0;i<n;i++){
            x0[i]=input.nextDouble();
        }
        double y0[]=Lag(x, y, x0);
        System.out.println("運用拉格朗日插值法求解得:");
        for(int i=0;i<n;i++){
            System.out.println(y0[i]+" ");
        }
        System.out.println();
        input.close();
    }
}

拉格朗日插值法的缺點在於插值點較多時計算出的結果不穩定，可以以定義一個重心權的方式進行改進，這種經過改良的插值法一般稱作重心拉格朗日插值法。