Matlab蒙特卡洛模擬二維伊辛模型相變過程

一、什麼是伊辛模型

伊辛（Ising）模型是描述磁系統相變最簡單的模型，但模型裏自旋之間的相互作用賦予了它奇妙的特性，最有趣的就是對稱性破缺。這一模型可以被推廣用於研究連續的量子相變、基本粒子超弦理論、動力學臨界行爲等，甚至被認爲可以描述深林火災、交通擁堵、輿論傳播等社會經濟現象。

如圖，每個格點的方向只有向上或向下兩者狀態，但臨近的自旋之間有相互作用，而且點陣可以是一維、二維、三維、甚至更高維，這兩個特點讓伊辛模型的嚴格求解成爲了世紀難題。爲了定量描述這個系統的能量，我們假設第$i$個格點的自旋爲$s_i$，$s_i$只能取+1或-1，如果相鄰兩個格點同方向，則它們相互作用的能量更小，設爲$-J$，如果爲反方向，則爲$J$，$J$稱爲耦合係數，通常爲正值，代表鐵磁系統，如果$J$爲負值，則代表反鐵磁系統。如果外磁場的強度爲B，格點的自旋磁矩爲$\mu$，那麼可以寫出這個體系的哈密頓量：
$H=-J\sum_{<ij>}s_i s_j-\mu B \sum_{i=1}^N s_i$

自發對稱性破缺

我們先定性地瞭解一下這個系統的性質，令外磁場零，當溫度$T\rightarrow 0$時，體系爲了保持能量最低，所用的格點趨向於同方向，系統整體要麼向下，要麼向上，呈現強磁性。當溫度$T\rightarrow \infty$時，系統熱運動占主導地位，格點方向呈現隨機性，系統整體不帶磁性，從上或從下觀察體系，呈現出對稱性，或者說無法通過系統磁性區分上或下。現在再考慮，當溫度T從$\infty$逐漸降溫，那麼系統必定存在某個溫度$T_c$，高於此溫度時系統無磁性，低於此溫度時，系統磁性逐漸加強。這個溫度就是臨界溫度，也是相變點，系統從對稱磁體轉變爲非對稱磁體，而這就是對稱性破缺，因爲這種破缺不是外界擾動（如外加磁場）引起的，而是由內部的關聯作用力造成的，所以稱之爲自發的對稱性破缺。

上圖就是對自發對稱性破缺的定性描述，當逐漸降溫到$T_c$時，系統磁性開始出現分化，要麼向下要麼向上，最終平均的磁化強度$\overline{s}$趨向於+1或-1。

我們感興趣的問題主要有兩個：第一，不同維度、不同分佈的格點，其臨界溫度$T_c$是多少；第二，$T_c$附近，$\overline{s}$隨溫度$T$以什麼樣的冪指數$\alpha$趨近於$T_c$：
$\overline{s}\sim(T_c-T)^{\alpha}$

統計物理的思路

我們先考慮簡單的9個格點的例子，實際格點數的量級爲$10^{29}$。

假設格點耦合強度$J=1$，那麼這個9格點體系的能量爲：
$E=[(-1+1)+(-2+1)+(2)+(2-1)+(-3+1)+(-1+2)+(-1+1)+(-1+2)+2]/2=2$
第一個格點有兩個相鄰格點，右邊的與其同向，耦合能爲-1，下面的與其反向，耦合能爲1；第二個格點有三個相鄰格點，左和下與其同向，耦合能爲-2，右邊與其反向，耦合能爲1。類似的可以計算其餘格點的耦合能。最後除以2是因爲每個相互作用重複計算了一次。而這一特定分佈以某概率P出現：
$P\varpropto e^{-E/kT}$
對於9個格點的體系，總共有$2^9=512$種分佈，每種分佈的出現概率於其總能量有關，所以分佈概率滿足歸一化條件。給定不同溫度，我們可以計算出不同溫度下平均磁化率的數學期望$\overline{s}$，得到$\overline{s}-T$的曲線。

但是對於粒子爲$10^{29}$量級的格點，可能的分佈有$2^{10^{29}}$種，根本不可能統計出結果。

一維的情況可以通過數學上的處理，最終可以提出N，並得到$T_c=0$，也就是說一維的伊辛模型不會有自發的對稱性破缺，這是因爲一維的格點只有兩個相鄰格點，相互作用太弱，不足以對抗熱運動，始終表現爲整體0磁化率的對稱狀態。

二維的情況下，如果用平均場近似的方法（具體可以參考林宗涵的熱力學與統計物理），基本思想是將相互作用的耦合能轉化爲外磁場強度，這就可以用近獨立的模型來計算配分函數，進而得到所有的統計量，獲得的臨界溫度爲 $T_c= \frac{2J}{k}$，平均磁化率：
$\overline{s}\sim(T_c-T)^{1/2} ~~~~~~~~(T\rightarrow T_c^-)$

1944年，昂薩格推導出了二維伊辛模型的嚴格解，臨界溫度$T_c=\frac {2.269J}{k}$，平均磁化率：
$\overline{s}\sim(T_c-T)^{1/8} ~~~~~~~~~(T\rightarrow T_c^-)$

二、二維伊辛模型的精確解

平均磁化率$\overline s$

這裏只列出二維伊辛模型精確解的結論，推導過於複雜，定義$\beta\equiv \frac{1}{kT}$，則平均磁化率：
$\overline{s} =\begin{cases} 0,&{T>T_c} \\ [1-\sinh(2\beta J)^{-4}]^{1/8}, &{T\leq T_c}\end{cases}$
令$\sinh(2\beta J)=0$可以解得：$T_c=\frac{2J}{k\ln(1+\sqrt{2})}\approx \frac{2.269J}{k}$，令$T=T_c-\delta T$，小量泰勒展開化簡可以得到：
$\overline{s}=[4·\frac{2J}{kT_c}\cosh(\frac{2J}{kT_c})·\frac{\delta T}{T_c}]^{1/8}=1.224[1-\frac{T}{T_c}]^{1/8}\sim(T_c-T)^{1/8}$
當$T_c \rightarrow 0$時，容易得到結果爲1，表面所有的格點同向，平均磁化率爲1。

假設耦合強度$J$等於1開爾文溫度下的熱運動能量，即$J=k$，做出$\overline{s}-T$曲線如下：

平均能量和比熱

另一個能夠判斷相變的參數是比熱$C_v=\frac{d \overline{E}}{dT}$，這裏的$\overline{E}$表示單個格點的平均能量，定性來看，當溫度趨於0時，所有格點同向，$\overline{E}=-4/2=-2$，當溫度趨於無窮時，格點方向隨機，某格點四周平均有兩個同向和兩個方向，$\overline{E}=0$。其曲線如下(令$J=k$)：

這裏的比熱在臨界溫度時會突然增大，表面臨界溫度附近變化有個小溫度變化，需要吸收極大能量，這也很符合相變的特點。具體的計算公式和matlab代碼詳見附錄A。

雖然大體瞭解了相變的過程，以及理論上的精確解，我們能否通過實驗的方式，驗證這一結論呢？藉助計算機模擬這一過程來驗證結果呢？

三、二維伊辛模型模擬

因爲不可能遍歷所有的格點組合，我們只能利用採樣的方式去計算平均能量，採樣的條件應該是體系在某個溫度下已經平衡。 計算機模擬的基本思想是，首先隨機給定一種分佈，在特定溫度下，讓體系趨向平衡，再在這個平衡體系中採樣求平均。

• 假設體系有$20\times 20$的格點，初始時同一分佈，相當於溫度很低；
• 我們設定一個希望“加熱”到的平衡溫度$T_0$，接下來是模擬最關鍵的地方，如何改變格點的分佈以趨向於設定溫度$T_0$？
  1、我們先任意選擇一個格點，計算改變這個格點的能量變化$\Delta E$，因爲體系出現的概率正比於$e^{-E/kT}$，那麼格點變化前後兩個體系出現的概率比爲$e^{-\Delta E/kT}$，或者說格點改變的概率與不改變的概率比爲：$1:e^{-\Delta E/kT}$，那麼格點需要改變的概率爲$e^{-\Delta E/kT}$，因此我們產生一個(0,1)概率隨機數，如果它小於$e^{-\Delta E/kT}$則選擇改變格點；
  2、重複1的步驟，直到體系相對平穩，這個過程稱爲馬爾可夫鏈，之後在平穩的體系下采樣若干次並做統計平均，獲得平均能量$\overline E$，平均磁化率$\overline s$，以及描述能量方差的比熱$C_v$。
  3、設定另一個希望考察的溫度，重複1、2步驟，獲得該溫度下的統計參數，並和理論值比較。

我們同樣假設$J=k$，選取格點數爲$20\times 20$。臨界溫度點附近，馬爾可夫鏈長取5萬次，採樣數爲25萬次；其他溫度點馬爾可夫鏈長1萬次，採樣數爲5萬次。這是因爲臨界溫度附近的漲落很大，需要更長的時間趨向平衡，需要更多的統計樣本獲得較準確平均值。詳細的代碼及解釋可以參看附錄B。

模擬平均磁化率 $\overline{s}-T$

可以看出平均磁化率在臨界溫度附近很不穩定，這是因爲臨界相變時漲落很大的緣故，高溫時的磁化率不是嚴格的零，可能與格點數少和馬爾可夫鏈較短有關係，如何確定$T_c$呢？通過平均磁化率求$T_c$比較困難，一般是通過比熱$C_v$發散的位置確定$T_c\approx 2.3$，參考下一部分。

選取T=1.7~2.2的16個數據點，擬合曲線：
$\ln\overline{s}\sim \alpha \ln(T_c-T)$
得到$\alpha \approx 0.12,R^2=0.89$，這和理論值$1/8=0.125$相當接近。

模擬平均能量 $\overline{E}-T$

在臨界溫度附近進行了較密集的溫度取點，而且加長了馬爾可夫鏈，但是仍能看到較大的漲落，可以通過這個現象來確定臨界溫度$T_c\approx 2.3$。

最後，讓我們欣賞一下格點從同一分佈到臨界溫度的變化過程吧，爲了便於觀察，選擇40X40的格點，馬爾可夫鏈長爲1萬：

初始同一分佈的格點，逐漸趨向於高溫$T=5$下的平衡態，格點最後呈現隨機分佈：

初始同一分佈的格點，溫度降低至$T=3$的平衡態，格點最後呈現小塊狀：

初始無序分佈的格點，溫度降低到臨界溫度$T=2.3$時，格點最後呈現的塊狀增大。

初始無序分佈的格點，溫度降低到臨界溫度以下$T=2$，格點最後呈現的大的塊狀，說明已經發生了明顯的相變。

初始無序分佈的格點，溫度降低更多至$T=1$，格點越來越趨向於同一分佈。

附錄

A、平均能量和比熱的精確解：(前方高能)

定義$\beta \equiv 1/kT$
$\overline E=-J\cot(2\beta J)\times[1+\frac{2}{\pi}A·B(\lambda)]$
$\begin{cases} A\equiv 2\tanh(2\beta J)^2-1\\ B(\lambda)\equiv \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1-\lambda^2\sin\phi ^2}}\\ \lambda\equiv \frac{2\sinh(2\beta J)}{\cosh(2\beta J)^2} \end{cases}$
帝國主義都是紙老虎，我們仔細發現，只要確定了溫度$T$或$\beta$，那麼可以依次確定$\lambda,B(\lambda),A,\overline E$，也就是平均能量和溫度是一一對應的，最後通過求導得到比熱$C_v=d \overline E/d T$。

%matlab code
clear;clc;
beta=0.1:0.01:1; %溫度從10到1
for i=1:1:size(beta,2);%遍歷beta
lambda=2.*sinh(2.*beta(i))./cosh(2.*beta(i)).^2;%計算lambda
phi=linspace(0,pi/2,1000);%求B的積分參數
b=1./sqrt(1-lambda.^2.*sin(phi).^2);
B=trapz(phi,b);%積分B(lambda)
A=2*tanh(2.*beta(i)).^2-1;
e_bar(i)=-coth(2.*beta(i)).*(1+2/pi.*A.*B); %每個格點的平均能量
end
%%
plot(1./beta,e_bar,'k','LineWidth',2);hold on;%E-T曲線
beta1=beta(2:end)/2+beta(1:end-1)/2;
cv=-beta1.^2.*diff(e_bar)./diff(beta); %對能量求導得到比熱
plot(1./beta1,cv,'r','LineWidth',2);

B、蒙特卡洛馬爾可夫鏈模擬二維伊辛模型相變過程

具體細節詳見代碼：

%matlab code
clear;clc;
n=10000;                       %馬爾可夫鏈長度1萬
ns=20;                          %20*20的格點 
beta_mc=(0.1:0.01:0.4);         %溫度從10到2.5,鏈長1萬，樣品長5萬
%T_mc=(2.1:0.01:2.4);          %第三批模擬溫度設定，臨界溫度附近取點更密集，還要調整n=50000
%beta_mc=1./T_mc;
tic;                               %計時用，n=10000時，通常需要跑一分多鐘
for jj=1:1:size(beta_mc,2)
X=sign(rand(ns,ns));        %所有格點方向一致，相當於從0度開始升溫
%馬爾可夫鏈長度爲5萬次
for j=1:1:n
    %隨機選取一個格點，行列存儲在index[1,2]
    index=unidrnd(ns,1,2);      
    % 利用週期性邊界條件，分別計算格點上下左右四個點行列座標
    tmp1=rem(index(1),ns)+1;tmp2=rem(index(1)+1,ns)+1;tmp3=rem(index(1)-1,ns)+1;
    tmp4=rem(index(2),ns)+1;tmp5=rem(index(2)+1,ns)+1;tmp6=rem(index(2)-1,ns)+1;
    % 計算改變格點方向後的能量變化
    cen=X(tmp1,tmp4);right=X(tmp1,tmp5);left=X(tmp1,tmp6);
    up= X(tmp2,tmp4);down= X(tmp3,tmp4);
    deE=2*cen*(right+left+up+down);
    % 判斷是否改變格點
    if rand<exp(-deE*beta_mc(jj))
        X(tmp1,tmp4)=-X(tmp1,tmp4);
    end
end    

% 取樣5萬次，平衡時同樣需要判斷是否改變格點
for j=1:1:5*n
    index=unidrnd(ns,1,2);
    % 利用週期性邊界條件，分別計算格點上下左右四個點行列座標
    tmp1=rem(index(1),ns)+1;tmp2=rem(index(1)+1,ns)+1;tmp3=rem(index(1)-1,ns)+1;
    tmp4=rem(index(2),ns)+1;tmp5=rem(index(2)+1,ns)+1;tmp6=rem(index(2)-1,ns)+1;
    % 計算改變格點方向後的能量變化
    cen=X(tmp1,tmp4);right=X(tmp1,tmp5);left=X(tmp1,tmp6);
    up= X(tmp2,tmp4);down= X(tmp3,tmp4);
    deE=2*cen*(right+left+up+down);
    % 判斷是否改變格點
    if rand<exp(-deE*beta_mc(jj))
        X(tmp1,tmp4)=-X(tmp1,tmp4);
    end
    %計算一種特定分佈時的平均磁化率
    m(j)=abs(mean(mean(X)));  
	%計算一種特定分佈時的平均能量
    Xt1=X;Xt1(1,:)=[];Xt1=[Xt1; X(1,:)];
    Xt2=X;Xt2(:,1)=[];Xt2=[Xt2, X(:,1)];
    e(j)=-mean(mean(X.*Xt1+X.*Xt2));
end
% 特定溫度下的統計量
m_bar(jj)=mean(m);   
e_bar(jj)=mean(e);
cv_bar(jj)=beta_mc(jj)^2*ns^2*std(e)^2;
end
toc;
% 作圖觀察
figure(1);
plot(1./beta_mc,m_bar,'ko');
figure(2);
plot(1./beta_mc,e_bar,'ko');
figure(3);
plot(1./beta_mc,cv_bar,'ro');

20X20格點，從同一分佈開始升溫，分佈進行了三批溫度選擇：

• $\beta=(0.1:0.01:0.4)$ 31個溫度點，$T\in[2.5,10]$馬爾可夫鏈長度爲1萬次，採樣5萬次。
• $T=(0.1:0.1:2.1)$ 21個溫度點，$馬爾可夫鏈長度爲1萬次，採樣5萬次。
• $T=(2.1:0.01:2.4)$ 31個溫度點，馬爾可夫鏈長度爲5萬次，採樣25萬次。