計算機圖形學學習(二) Bresenham畫圓算法講解及matlab實現

Bresenham畫圓算法介紹

• 先講解1/8圓：設圓的半徑爲r,考慮圓心在(0,0),從x=0、y=r開始的順時針方向的1/8圓周的生成過程。

• x每次增加1個單位,從x=0開始,到x=y結束,即有x_i+1=x_i+1；另外，y_i+1則在y_i或者y_i-1中選擇(如圖)
  

• y_i+1的取值取決於d₁和d₂的大小
  y²= r²-(x_i+1)²
  d₁= y_i²-y²= y_i²-r²+(x_i+ 1)²
  d₂ = y²-(y_i-1)² = r²-(x_i+1)²- (y_i一1)²
  令p_i=d₁- d₂,代人d₁、d₂得
  p_i = 2(x_i+1)²+y_i²+(y_i- 1)² - 2r²

• p_i稱爲誤差項。如果p_i<0,則下一個像素點y_i+1=y_i,
  否則y_i+1=y_i-1(其中p_i=0時選擇y_i+1=y_i-1)

• p_i的遞歸式爲:
  p_i+1 = p_i+4x_i+6+2(y_i² +1-y_i²)- 2(y_i+1-y_i)
  p_i的初值代x_i=0,y_i=r可得:
  p₀= 2(0+1)²+r² +(r- 1)2² = 3一2r

---

Bresenham畫圓算法實現

根據上面的推導,圓生成算法思路如下:
(1)求誤差初值,p₀=3- 2r,i=1,畫點(0,r)
(2)求下一個點的y座標,其中x_i+1=x_i+1,如果p_i<0則y_i+1=y_i,否則y_i+1=y_i-1
(3)畫點(x_i+1,y_i+1)
(4)計算下一個誤差,如果p_i<0則p_i+1=p_i+4x_i+6,否則p_i+1=p_i+4(x_i-y_i)+10
(5) i=i+1,如果x=y則結束,否則返回步驟(2)。

---

matlab代碼實現

function Bresenhamcircle(xc,yc,r,color)
x=0;
y=r;
p=3-2*r;
hold on
grid minor
while(x<y)
    scatter(xc+x,yc+y,'.',color)
    scatter(xc-x,yc+y,'.',color)
    scatter(xc+x,yc-y,'.',color)
    scatter(xc-x,yc-y,'.',color)
    scatter(xc+y,yc+x,'.',color)
    scatter(xc-y,yc+x,'.',color)
    scatter(xc+y,yc-x,'.',color)
    scatter(xc-y,yc-x,'.',color)
    if(p<0)
        p=p+4*x+6;
    else
        p=p+4*(x-y)+10;
        y=y-1;
    end
    x=x+1;
end
if(x==y)
    scatter(xc+x,yc+y,'.',color)
    scatter(xc-x,yc+y,'.',color)
    scatter(xc+x,yc-y,'.',color)
    scatter(xc-x,yc-y,'.',color)
    scatter(xc+y,yc+x,'.',color)
end
hold off
end

---

結果展示