LeetCode 115 不同的子序列

題目 不同的子序列

給定一個字符串 S 和一個字符串 T，計算在 S 的子序列中 T 出現的個數。

一個字符串的一個子序列是指，通過刪除一些（也可以不刪除）字符且不干擾剩餘字符相對位置所組成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一個子序列，而 “AEC” 不是）

示例 1:

輸入: S = “rabbbit”, T = “rabbit”
輸出: 3
解釋:

如下圖所示, 有 3 種可以從 S 中得到 “rabbit” 的方案。
(上箭頭符號 ^ 表示選取的字母)

rabbbit

^^^^ ^^

rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^

示例 2:

輸入: S = “babgbag”, T = “bag”
輸出: 5
解釋:

如下圖所示, 有 5 種可以從 S 中得到 “bag” 的方案。
(上箭頭符號 ^ 表示選取的字母)

babgbag
^^ ^
babgbag
^^ ^
babgbag
^ ^^
babgbag
^ ^^
babgbag
^^^

來源：力扣（LeetCode）

解決方法

動態規劃

設置dp[i][j]表示s[0…i-1]中含有子序列t[0…j-1]的個數。則狀態轉移方程推導過程如下：

• 如果s[i]!=t[j],我們可以看s[0…i-1]中含有子序列t[0…j]的個數。此時dp[i+1][j+1]=dp[i][j+1]
• 如果s[i]==t[j]，除了跳過s[i],看s[0…i-1]中含有子序列t[0…j]的個數，我們還可以看s[0…i-1]中含有子序列t[0…j-1]的個數。此時dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+dp[i][j+1]

時間複雜度爲O(ST),空間複雜度爲O(ST)

代碼

int numDistinct(char * s, char * t){
    int lens=strlen(s);
    int lent=strlen(t);
    if(lens<lent)
        return 0;
    long **dp=(long**)malloc(sizeof(long*)*(lens+1));
    for(int i=0;i<=lens;i++){
        dp[i]=(long*)malloc(sizeof(long)*(lent+1));
        memset(dp[i],0,sizeof(long)*(lent+1));
    }
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=lent;i++)
        dp[0][i]=0;
    for(int i=1;i<=lens;i++)
        dp[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=lens;i++){
        for(int j=1;j<=lent;j++){
            if(s[i-1]!=t[j-1])
                dp[i][j]=dp[i-1][j]; //跳過s[i-1]這個字符
            else
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1];
        }
    }
    int ans=dp[lens][lent];
    for(int i=0;i<=lens;i++)
        free(dp[i]);
    free(dp);
    return ans;
}

需要注意的是，數據量很大時dp[i][j]可能會超出int，所以使用了二維類型爲long的數組去處理。根據狀態轉移方程可知，dp[i][j]只與dp[i-1][j]或dp[i-1][j-1]有關很顯然是可以優化空間複雜度的。

• 壓縮狀態代碼

int numDistinct(char * s, char * t){
    int lens=strlen(s);
    int lent=strlen(t);
    if(lens<lent)
        return 0;
    long *dp=(long*)malloc(sizeof(long)*(lent+1));
    memset(dp,0,sizeof(long)*(lent+1));
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=lent;i++)
        dp[i]=0;
    long *lastdp=(long*)malloc(sizeof(long)*(lent+1));
    for(int i=1;i<=lens;i++){
        memcpy(lastdp,dp,sizeof(long)*(lent+1));
        for(int j=1;j<=lent;j++){
            if(s[i-1]!=t[j-1])
                dp[j]=lastdp[j]; //跳過s[i-1]這個字符
            else
                dp[j]=lastdp[j]+lastdp[j-1];
        }
    }
    int ans=dp[lent];
    free(dp);
    free(lastdp);
    return ans;
}

時間複雜度爲O(ST),空間複雜度爲O(T)
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