買賣股票的最佳時機
121、買賣股票的最佳時機
難度：Easy
題目描述:
給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定股票第 i 天的價格。
如果你最多隻允許完成一筆交易（即買入和賣出一支股票一次），設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。
注意：你不能在買入股票前賣出股票。
示例 1:
輸入: [7,1,5,3,6,4]
輸出: 5
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出，最大利潤 = 6-1 = 5 。
注意利潤不能是 7-1 = 6, 因爲賣出價格需要大於買入價格；同時，你不能在買入前賣出股票。
示例 2:
輸入: [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這種情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤爲 0。
解題思路:
解法一：暴力法
因爲只能進行一次買賣，所以可以暴力遍歷所有的情況。
對於每一天，遍歷其後面的每一天，記錄兩天之差的最大值。
時間複雜度O(N^2),空間複雜度O(1)。注意這種複雜度下會超時。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if(prices.size() == 0) return 0;
int max = 0;
for(int i = 0; i < prices.size(); i++){
for(int j = i + 1; j < prices.size(); j++){
if(prices[j] - prices[i] > max){
max = prices[j] - prices[i];
}
}
}
return max;
}
};
解法二：動態規劃
dp[i]表示從第1天到第i天的最大利潤，min表示當前的股票最低值。
狀態轉移方程：dp[i] = max(dp[i - 1], price[i] - min)
進一步優化，考慮到dp[i]只與dp[i-1]有關，所以可以僅用一個變量maxProfit表示。
空間複雜度O(N),時間複雜度O(1)。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if (prices.size() <= 1) return 0;
int minPrice = __INT_MAX__;
int maxProfit = 0;
for (int i = 0; i < prices.size(); i++)
{
minPrice = min(minPrice, prices[i]);
maxProfit = max(maxProfit, prices[i] - minPrice);
}
return maxProfit;
}
};
122、買賣股票的最佳時機-2
難度：Easy
題目描述:
給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定股票第 i 天的價格。
設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你可以儘可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）。
注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。
示例 1:
輸入: [7,1,5,3,6,4]
輸出: 7
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 3 天（股票價格 =5）的時候賣出, 這筆交 易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
隨後，在第 4 天（股票價格 = 3）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 6-3 = 3 。
示例 2:
輸入: [1,2,3,4,5]
輸出: 4 解釋: 在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之後再將它們賣出。
因爲這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。
示例 3:
輸入: [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這種情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤爲 0。
提示：
1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
0 <= prices[i] <= 10 ^ 4
解題思路:
對比上一題，這道題的特點是可以無數次交易。
因此這道題的思路就是貪心法，每當後一天的價錢高於前一天，就執行一次交易。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if (prices.size() <= 1) return 0;
int result = 0;
for (size_t i = 1; i < prices.size(); i++)
{
if (prices[i-1] < prices[i])
{
result += prices[i] - prices[i-1];
}
}
return result;
}
};
123、買賣股票的最佳時機-3
難度：Hard
題目描述:
給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定的股票在第 i 天的價格。
設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成 兩筆 交易。
注意: 你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。
示例 1:
輸入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
輸出: 6
解釋: 在第 4 天（股票價格 = 0）的時候買入，在第 6 天（股票價格 = 3）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 3-0 = 3 。
隨後，在第 7 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 8 天 （股票價格 = 4）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 4-1 = 3 。
示例 2:
輸入: [1,2,3,4,5]
輸出: 4 解釋: 在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之後再將它們賣出。
因爲這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。
示例 3:
輸入: [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這個情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤爲 0。
解題思路:
與上面的題相比，難點在於規定了可以交易兩次，並且必須先買後賣。
因此現有有三個狀態共同決定當前最大利潤：當前的天數i(0-n), 已經買入的次數j(0-2),當前是否持有股票(0-1)。
所以利用動態規劃，狀態轉移方程如下：
注意，由於天數是(0-n)，所以第i天時，對應的股票價格是prices[i-1]
最終的輸出爲：
max(dp[n][2][0], dp[n][1][0], dp[n][0][0])
初始值：
dp[i][0][0] = 0
dp[i][0][1] = -inf
dp[0][i][0] = -inf
dp[0][i][1] = -inf
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
const int inf = 1 << 30;
const int n = prices.size();
int dp[30000 + 5][3][2];
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
dp[i][0][0] = 0;
dp[i][0][1] = -inf;
}
for (int i = 1; i < 3; i++)
{
dp[0][i][0] = -inf;
dp[0][i][1] = -inf;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i-1]);
if (j)
{
dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0] - prices[i-1]);
}
}
}
return max(max(dp[n][0][0], dp[n][1][0]), dp[n][2][0]);
}
};