【C++】「一本通 1.2 例 3」曲線

【來源】

一本通題庫-1435
LibreOJ-10013
vjudge

【題目描述】

明明做作業的時候遇到了 $n$ 個二次函數 $S_i(x)=ax^2+bx+c$，他突發奇想設計了一個新的函數 $F(x)=\max \{S_i(x)\},i=1…n$。

明明現在想求這個函數在 $[0,1000]$ 的最小值，要求精確到小數點後四位，四捨五入。

【輸入格式】

輸入包含 $T$ 組數據，每組第一行一個整數 $n$；

接下來 $n$ 行，每行 $3$ 個整數 $a, b, c$ ，用來表示每個二次函數的 $3$ 個係數。注意：二次函數有可能退化成一次。

【輸出格式】

每組數據輸出一行，表示新函數 $F(x)$ 的在區間 $[0,1000]$ 上的最小值。精確到小數點後四位，四捨五入。

【樣例輸入】

2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2

【樣例輸出】

0.0000
0.5000

【數據範圍】

對於 $50\%$ 的數據，$1≤n≤100$；

對於 $100\%$ 的數據，$1≤T≤10, 1≤n≤10^5, 0≤a≤100, 0≤|b|≤5000, 0≤|c|≤5000$。

【解析】

三分。
三分法是在二分查找的基礎上，在右區間（或左區間）再進行一次二分。

與二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列爲一個凸性函數。通俗來講，就是該序列必須有一個最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左側序列，必須滿足不嚴格單調遞增（遞減），右側序列必須滿足不嚴格單調遞減（遞增）。

首先把 l-r 這個區間分成三部分（lmid和rmid）。
接下來就是判斷，我們因爲要求最小值，所以我們要使得左邊的值儘可能的小，這樣最左邊就是最小的。
接下來就是判斷最大值，就是找出lmid和rmid判斷出來的最大值，判斷如果lmid的最大值大於rmid，那就說明當前的隊列不是左邊最小，就把l移到lmid的位置，跳過不符合的那一段。如果小於，那就把r移到rmid的位置，在更左邊尋找。
經過這一循環的運算之後，我們就可以得到一個遞增的序列，而這個序列的最左邊就是最小值。
答案：判斷出l的值就好了。

細節：精度要開小，我開了1e-12。

【代碼】

#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#pragma G++ optimize(3,"Ofast","inline")

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define RI                 register int
#define re(i,a,b)          for(RI i=a; i<=b; i++)
#define ms(i,a)            memset(a,i,sizeof(a))
#define MAX(a,b)           (((a)>(b)) ? (a):(b))
#define MIN(a,b)           (((a)<(b)) ? (a):(b))

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=1e5+5;
const int inf=2e9;

int n,T;
double a[N],b[N],c[N];

double calc(double x) {
    double ret=-inf;
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        ret=MAX(ret,a[i]*x*x+b[i]*x+c[i]);
    return ret;
}

int main() {
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1; i<=n; i++) 
            scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&c[i]);
        double l=0,r=1000;
        while(r-l>1e-12) {
            double lmid=l+(r-l)/3.0;
            double rmid=r-(r-l)/3.0;
            if(calc(lmid)<=calc(rmid)) r=rmid;
                else l=lmid;
        }
        double ans=calc(l);
        printf("%0.4lf\n",ans);
    }
    return 0;
}