2-1 圖的分類
圖是一個用線 或 邊連接在一起的頂點的集合，可以說，圖是有限 頂點V 和 邊E 的有序對。頂點（Vertex），邊（Edge）
圖a中的邊沒有方向，稱爲無向圖。圖b中邊存在方向稱爲有向圖。
1.1(a)所示的圖可以表示爲 G1(V, E)。其中頂點集合 V(G1) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }，集合
中的元素爲頂點（用序號代表，在其他圖中，頂點集合中的元素也可以是其他標識頂點的符號，
如字母 A、B、C 等）；
邊的集合爲：E(G1) = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (4, 5) }
圖 1.1(b)所示的圖可以表示爲 G2(V, E)，其中頂點集合 V(G2) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，集合中的元素也爲頂點的序號；
邊的集合爲：
E(G2) = { <1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <2, 6>, <3, 5>, <4, 3>, <5, 2>, <5, 4>, <6, 7> }。
在上述邊的集合中，每個元素<u, v>爲一對頂點構成的有序對（用尖括號括起來），
表示從點 u 到頂點 v 的有向邊（directed Edge）
權值（weight）：某些圖的邊具有與它相關的數，稱爲權值。
下列圖示分別表示：無向有權圖，有向有權圖
上圖a中：所示的無向網可表示爲 G1(V, E)，其中頂點集合 V(G1) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }；
邊的集合爲：
E(G1) = { (1, 2, 28), (1, 6, 10), (2, 3, 16), (2, 7, 14), (3, 4, 12), (4, 5, 22), (4, 7, 18), (5, 6, 25), (5, 7, 24) }。
在邊的集合中，每個元素的第 3 個分量表示該邊的權值。
所以依據圖的有無方向和權值可以分爲4類：
1.無向無權圖
2.有向無權圖
3.無向有權圖
4.有向有權圖
2-2 圖的基本概念
頂點的度（degree）：對於無向圖來說，一個頂點的度就是這個頂點的相鄰的邊的數量。如第一張圖a中點1的度就是 2 。
簡單圖：沒有自環邊，沒有平行邊
子圖：例如，圖 1.8(a)、(b)所示的無向圖都是圖 1.1(a)所示的無向圖 G1的子圖
聯通圖和非聯通圖：
在無向圖中，若從頂點 u 到 v 有路徑，則稱頂點 u 和 v是連通的（connected）。
如果無向圖中任意一對頂點都是連通的，則稱此圖是連通圖（connected graph）；
相反，如果一個無向圖不是連通圖，則稱爲非連通圖（disconnected graph）。
如果一個無向圖不是連通的，則其極大連通子圖稱爲連通分量（connected component）
樹是一種無環圖，任意結點都可以看做是根節點。聯通的無環圖是樹。
生成樹（Spanning Tree）：一個無向連通圖的生成樹是它的包含所有頂點的極小連通子圖，這裏所謂的極小就是邊的數目極小。
如果圖中有 n 個頂點，則生成樹有 n-1 條邊。一個無向連通圖可能有多個生成樹。
圖1.1(a) 所示的無向圖 G1的一個生成樹如圖 1.9(a)所示。爲了更形象地表示這個生成樹，
在圖 1.9 中，圖(b)把它畫成了以頂點 1 爲根結點的樹，圖(c)把它畫成了以頂點 3 爲根結點的樹。
2-3 圖的基本表示：鄰接矩陣
在鄰接矩陣存儲方法中，除了一個記錄各個頂點信息的頂點數組外，還有一個表示各個頂點
之間關係的矩陣，稱爲鄰接矩陣（adjacency matrix）。兩頂點相鄰則爲1， 不相鄰則爲 0
其中 V = 7 表示頂點的數量， E = 9 表示邊的數量
練習的是簡單圖，不包含自環邊和平行邊
import java.io.File;
import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
//只是處理簡單的圖
public class AdjMatrix {
private int V; // 圖的頂點的數量
private int E; // 圖的邊的數量
private int[][] adj; // 鄰接矩陣
public AdjMatrix(String filename) {
File file = new File(filename);
try {
// 讀取文件
Scanner scanner = new Scanner(file);
V = scanner.nextInt();
// 判斷頂點數量是否有誤
if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("V 必須是個不爲負數的數值");
adj = new int[V][V]; // 創建二維矩陣
E = scanner.nextInt();
if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("E 必須是個不爲負數的數值");
for (int i = 0; i< E; i++) {
int a = scanner.nextInt();
validateVertex(a);
int b = scanner.nextInt();
validateVertex(b);
// 判斷是否是自環邊
if (a == b) throw new IllegalArgumentException("不允許存在自環邊");
if (adj[a][b] == 1) throw new IllegalArgumentException("不允許存在平行邊");
adj[a][b] = 1;
adj[b][a] = 1;
}
} catch (IOException e) {
e.printStackTrace();
}
}
private void validateVertex(int v) {
if (v < 0 || v > V) {
throw new IllegalArgumentException("輸入的數值" + v +"不合法");
}
}
// 獲取指定結點相鄰的結點
public ArrayList<Integer> adj(int v){
validateVertex(v);
ArrayList<Integer> res = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < V; i++) { // 頂點的數量
if (adj[v][i] == 1) {
res.add(i);
}
}
return res;
}
// 獲取指定結點的度，即相鄰的結點的數量
public int degree(int v) {
return adj(v).size();
}
public int V() {
return V;
}
public int E() {
return E;
}
public boolean hasEdge(int x, int y) { // 依據兩個頂點判斷邊是否存在
validateVertex(x);
validateVertex(y);
return adj[x][y] == 1;
}
public String toString() {
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
stringBuilder.append(String.format("V = %d, E = %d \n", V, E));
// 打印出矩陣
for (int i =0; i< V; i++) {
for (int j = 0; j < V; j++) {
stringBuilder.append(String.format("%d ", adj[i][j]));
}
stringBuilder.append("\n");
}
return stringBuilder.toString();
}
public static void main(String[] args) {
AdjMatrix adjMatrix = new AdjMatrix("g.txt");
System.out.println(adjMatrix);
// V = 7, E = 9
// 0 1 0 1 0 0 0
// 1 0 1 0 0 0 1
// 0 1 0 1 0 1 0
// 1 0 1 0 1 0 0
// 0 0 0 1 0 1 0
// 0 0 1 0 1 0 1
// 0 1 0 0 0 1 0
System.out.println(adjMatrix.adj(2).toString());
System.out.println(adjMatrix.degree(2));
}
}
2-4 圖的基本表示：鄰接表
2-6 鄰接表的實現
2-7 鄰接表的問題和改進
2-8 實現鄰接表的改進
2-9 圖的基本表示的比較
待更新。。。。。。。。。。。。。
