MATLAB數學建模必備算法--層次分析法AHP

其主要用於解決評價類問題（例如：選擇哪種方案最好、哪位運動員或者員工表現的更優秀）

一個很典型的層次分析法案例：

確定評價目標：

高考完後小明想要去旅遊，有三個目的地供他選擇：

蘇杭
北戴河
桂林

確定評價準則：

假如小明要選擇目的地，他同時考慮以下的條件，我們稱爲評價準則：

景色
花費
居住
飲食
交通

確定評價準則的判斷矩陣：

在這之前，我們要介紹一下重要程度表：

當兩個條件互相比較時，誰比誰重要，可以用這張表的數值(1~9)來進行打分。

我們要依次確定這個五個條件的權重以便小明選擇目的地，假如我們問小明：

博主	：”小明，你覺得這五個條件對你來說對於選擇目的地來說更重要啊？“
小明：”一次讓我來說的話可能不太好判斷，每個我感覺都挺重要啊。。。“

於是我們就會遇到這樣的問題，但條件很多時，我們就不好一下子直接說出哪一個條件對於目的地的選擇更加重要(或者說在小明心中的權重)。所以這個時候我們可以構造一個表格來兩兩比較：

觀察以上表格，分成三個部分：

對角線以上

拿景色與花費做例子，景色相比與花費，小明覺得景色對於他來說要求不是那麼高，反而會更在意花費，所以景色相對於花費的值是1/2

對角線

 由於表格的對角線是條件與自己相比，所以值爲1(同等重要)

對角線以下
既然對角線以上是景色比花費，那麼對角線就是花費比景色，正好相反

所以我們看到，對角線以下的是對角線以上的倒數，由於有五個評價準則，所以一共要兩兩比較：
次就可以填滿整張表。
下面是結果：

總結：上面的上面這個表是一個5 X 5的方陣，我們記爲A，對應的元素爲:

這個方陣有如下特點：

aij的意思是i與指標𝑗相比，𝑖的程度
當𝑖 = 𝑗時，兩個指標相同，因此同等重要記爲1，這就解釋了主對角線元素爲1。
𝑎ij> 0且滿足𝑎ij X 𝑎ji = 1 （我們稱滿足這一條件的矩陣爲正互反矩陣）

上面這個矩陣就是層次分析法中的判斷矩陣，得到了判斷矩陣，就可以計算出權重了

確定目標的判斷矩陣：

既然評價準則之間有判斷矩陣，在小明心中，對於景色來說，蘇杭，北戴河，桂林之間可能也有不同的分數，他可能覺得在景色方面，桂林更勝一籌，那麼桂林的分數就要比其它兩個的分數要高，那這樣單單就景色來說，蘇杭，北戴河，桂林之間就要兩兩之間進行比較，其它的條件也是同樣如此，於是我們可以類比以上的表格：

景色：

花費
居住
飲食
交通

一致矩陣的概念

由於以上表格都是我們問，小明答，有很強的主觀意願，所以這張表表格很可能出錯，下面我們就來看一個錯誤的例子：

如上圖所示，出現了不一致的現象，那麼我們來看一個一致的矩陣：

我們觀察這個矩陣，它的各行各列成比例，我們稱這個矩陣爲一致矩陣，我們可以用數學符號來表達：

所以，綜上所述：各行（各列）之間成倍數關係的矩陣爲一致矩陣。

總結：

矩陣中每個元素都大於0且對角線元素爲1的矩陣我們成爲正互反矩陣
在層次分析法中，我們構造的判斷矩陣都是正互反矩陣
若正互反矩陣滿足各行各列成比例，我們稱爲一致矩陣

所以，我們得到的判斷矩陣一定是正互反矩陣，由於跟實際情況中可變的因素有很多，所以我們的正互反矩陣在現實生活中很難滿足各行各列成比例，所以也就很難讓正互反矩陣成爲一致矩陣，但是我們可以對正互反矩陣進行一致性檢驗，讓它在一定的範圍誤差內，在此誤差內我們可以看作其滿足一致性矩陣的條件，所以我們在得到了判斷矩陣(正互反矩陣)後要進行一致性檢驗

對判斷矩陣進行一致性檢驗：

原理： 檢驗我們構造的判斷矩陣和一致矩陣是否有太大的差別。

一致性檢驗的步驟：

計算判斷矩陣的特徵值：

如果特徵值中有虛數，則比較的是特徵值的模長。
這個由於計算較爲繁瑣，我們可以交給MATLAB完成，使用eig命令既可以計算特徵值，也可以計算特徵向量。

當最大特徵值等於矩陣階數的時候，我們的正互反矩陣才爲一致矩陣：

當最大特徵值與n相差越大時，我們得到的矩陣越不一致。

計算一致性指標CI：
查找對應的平均隨機一致性指標RI：

注：在實際運用中，n很少超過10，如果指標的個數大於10，則可考慮建立二級指標體系，或使用我們以後要學習的模糊綜合評價模型。

計算一致性比例CR：
對一致性比例CR進行判斷：

如果CR<0.1，則判斷矩陣的一致性可以接受。
如果CR>0.1，則要對判斷矩陣進行修正。

計算判斷矩陣的權重：

計算權重有三種方法：

算數平均法求權重：

步驟：

將判斷矩陣按照列歸一化（每一個元素除以其所在列的和）
我們看一個例子：

第一列：

第二列：

第三列：

於是我們得到以下表格：
將歸一化的各行相加：

相加後我們得到以下表格：

除以n得到最後的權重

幾何平均法求權重：

步驟：

將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量

在MATLAB中使用prod(A,2)命令即可以對一行進行相乘


A =

    1.0000    2.0000    5.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2000    0.5000    1.0000

使用prod(A,2)命令：

>> prod(A,2)

ans =

   10.0000
    1.0000
    0.1000

將新的向量的每個分量開n次方

>> ans.^(1/3)

ans =

    2.1544
    1.0000
    0.4642

對該列向量進行歸一化即可得到權重向量

結果：

注：權重和應爲1，這裏由於四捨五入所以會有可以忽略的差距。

特徵值法求權重：

步驟：

1.在MATLAB中使用eig命令求特徵值和特徵向量：

A =

    1.0000    2.0000    5.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2000    0.5000    1.0000

>> [v,r] = eig(A)

v =

  -0.8902 + 0.0000i  -0.8902 + 0.0000i  -0.8902 + 0.0000i
  -0.4132 + 0.0000i   0.2066 + 0.3578i   0.2066 - 0.3578i
  -0.1918 + 0.0000i   0.0959 - 0.1661i   0.0959 + 0.1661i


r =

   3.0055 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i  -0.0028 + 0.1290i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0028 - 0.1290i

找出最大特徵值爲3.0055
2. 對求出的特徵向量進行歸一化即可得到我們的權重：
最大特徵值對應的特徵向量

  -0.8902 + 0.0000i  
  -0.4132 + 0.0000i  
  -0.1918 + 0.0000i

歸一化：

0.5954
0.2764
0.1283

三種方法計算的權重結果：

將計算結果填入權重表，得到：

計算評價準則的權重：

得到評價準則的判斷矩陣：

用三種方法計算權重：
填入表格：

求出其它評價準則對應的權重：

彙總結果得到權重矩陣:

根據權重表格計算每個目標的得分：

類似我們求出：

結果：

因此最佳的旅遊景點是桂林

總結：

1.建立層次結構：

2.構造準則層之間判斷矩陣：

3.構造方案層之間判斷矩陣：

4.對以上每個判斷矩陣進行一致性檢驗(通過後才能計算權重)：

5.通過檢驗後根據權重矩陣計算得分，並進行排序
三種方法計算權重：

注意事項：

一致矩陣不需要進行一致性檢驗，只有非一致矩陣的判斷矩陣才需要進行一致性檢驗
在論文寫作中，應該先進行一致性檢驗，通過檢驗後再計算權重，以上講解的只是爲了順應計算過程。
特徵值可用MATLAB進行計算，如果特徵值中有虛數，則比較的是特徵值的模長。
如果CR > 0.1 ，我們可以往一致矩陣上調整(這個就看你自己了,反正評委也不知道是吧～)
平均隨機一致性指標RI的表格中n最多是15

層次分析法的一些侷限性：

評價的準則層n不能太多(一般不超過十個)，太多的話n(最多是15)會很大，判斷矩陣和一致矩陣差異可能會很大。

代碼(含有詳細註釋)：

disp('請輸入判斷矩陣A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);
% % % % % % % % % % % % %方法1： 算術平均法求權重% % % % % % % % % % % % %
Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算術平均法求權重的結果爲：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)
% % % % % % % % % % % % %方法2： 幾何平均法求權重% % % % % % % % % % % % %
Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
disp('幾何平均法求權重的結果爲：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
% % % % % % % % % % % % %方法3： 特徵值法求權重% % % % % % % % % % % % %
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特徵值法求權重的結果爲：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% % % % % % % % % % % % %下面是計算一致性比例CR的環節% % % % % % % % % % % % %
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，這裏的RI最多支持 n = 15
% 這裏n=2時，一定是一致矩陣，所以CI = 0，我們爲了避免分母爲0，將這裏的第二個元素改爲了很接近0的正數
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指標CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因爲CR<0.10，所以該判斷矩陣A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此該判斷矩陣A需要進行修改!');
end

可以參考的矩陣：

將以下五個矩陣依次輸入以上代碼中就可以直接求出各種結果

評價準則：
[1, 1/2, 4, 3, 3;
 2, 1,   7, 5, 5;
 1/4, 1/7, 1, 1/2, 1/3;
 1/3, 1/5, 2, 1, 1;
 1/3, 1/5, 3, 1, 1]

景色：
[1,2,5;
1/2,1,2;
1/5,1/2,1;]

花費：
[1,1/3,1/8;
3,1,1/3;
8,3,1;]

居住：
[1,1,3;
1,1,3;
1/3,1/3,1;]

飲食：
[1,3,4;
1/3,1,1;
1/4,1,1;]

交通 ：
[1,1,1/4;
 1,1,1/4;
 4,4,1;]