MATLAB数学建模必备算法--层次分析法AHP

其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀）

一个很典型的层次分析法案例：

确定评价目标：

高考完后小明想要去旅游，有三个目的地供他选择：

苏杭
北戴河
桂林

确定评价准则：

假如小明要选择目的地，他同时考虑以下的条件，我们称为评价准则：

景色
花费
居住
饮食
交通

确定评价准则的判断矩阵：

在这之前，我们要介绍一下重要程度表：

当两个条件互相比较时，谁比谁重要，可以用这张表的数值(1~9)来进行打分。

我们要依次确定这个五个条件的权重以便小明选择目的地，假如我们问小明：

博主	：”小明，你觉得这五个条件对你来说对于选择目的地来说更重要啊？“
小明：”一次让我来说的话可能不太好判断，每个我感觉都挺重要啊。。。“

于是我们就会遇到这样的问题，但条件很多时，我们就不好一下子直接说出哪一个条件对于目的地的选择更加重要(或者说在小明心中的权重)。所以这个时候我们可以构造一个表格来两两比较：

观察以上表格，分成三个部分：

对角线以上

拿景色与花费做例子，景色相比与花费，小明觉得景色对于他来说要求不是那么高，反而会更在意花费，所以景色相对于花费的值是1/2

对角线

 由于表格的对角线是条件与自己相比，所以值为1(同等重要)

对角线以下
既然对角线以上是景色比花费，那么对角线就是花费比景色，正好相反

所以我们看到，对角线以下的是对角线以上的倒数，由于有五个评价准则，所以一共要两两比较：
次就可以填满整张表。
下面是结果：

总结：上面的上面这个表是一个5 X 5的方阵，我们记为A，对应的元素为:

这个方阵有如下特点：

aij的意思是i与指标𝑗相比，𝑖的程度
当𝑖 = 𝑗时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
𝑎ij> 0且满足𝑎ij X 𝑎ji = 1 （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）

上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵，得到了判断矩阵，就可以计算出权重了

确定目标的判断矩阵：

既然评价准则之间有判断矩阵，在小明心中，对于景色来说，苏杭，北戴河，桂林之间可能也有不同的分数，他可能觉得在景色方面，桂林更胜一筹，那么桂林的分数就要比其它两个的分数要高，那这样单单就景色来说，苏杭，北戴河，桂林之间就要两两之间进行比较，其它的条件也是同样如此，于是我们可以类比以上的表格：

景色：

花费
居住
饮食
交通

一致矩阵的概念

由于以上表格都是我们问，小明答，有很强的主观意愿，所以这张表表格很可能出错，下面我们就来看一个错误的例子：

如上图所示，出现了不一致的现象，那么我们来看一个一致的矩阵：

我们观察这个矩阵，它的各行各列成比例，我们称这个矩阵为一致矩阵，我们可以用数学符号来表达：

所以，综上所述：各行（各列）之间成倍数关系的矩阵为一致矩阵。

总结：

矩阵中每个元素都大于0且对角线元素为1的矩阵我们成为正互反矩阵
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵都是正互反矩阵
若正互反矩阵满足各行各列成比例，我们称为一致矩阵

所以，我们得到的判断矩阵一定是正互反矩阵，由于跟实际情况中可变的因素有很多，所以我们的正互反矩阵在现实生活中很难满足各行各列成比例，所以也就很难让正互反矩阵成为一致矩阵，但是我们可以对正互反矩阵进行一致性检验，让它在一定的范围误差内，在此误差内我们可以看作其满足一致性矩阵的条件，所以我们在得到了判断矩阵(正互反矩阵)后要进行一致性检验

对判断矩阵进行一致性检验：

原理： 检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

一致性检验的步骤：

计算判断矩阵的特征值：

如果特征值中有虚数，则比较的是特征值的模长。
这个由于计算较为繁琐，我们可以交给MATLAB完成，使用eig命令既可以计算特征值，也可以计算特征向量。

当最大特征值等于矩阵阶数的时候，我们的正互反矩阵才为一致矩阵：

当最大特征值与n相差越大时，我们得到的矩阵越不一致。

计算一致性指标CI：
查找对应的平均随机一致性指标RI：

注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系，或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。

计算一致性比例CR：
对一致性比例CR进行判断：

如果CR<0.1，则判断矩阵的一致性可以接受。
如果CR>0.1，则要对判断矩阵进行修正。

计算判断矩阵的权重：

计算权重有三种方法：

算数平均法求权重：

步骤：

将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
我们看一个例子：

第一列：

第二列：

第三列：

于是我们得到以下表格：
将归一化的各行相加：

相加后我们得到以下表格：

除以n得到最后的权重

几何平均法求权重：

步骤：

将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

在MATLAB中使用prod(A,2)命令即可以对一行进行相乘


A =

    1.0000    2.0000    5.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2000    0.5000    1.0000

使用prod(A,2)命令：

>> prod(A,2)

ans =

   10.0000
    1.0000
    0.1000

将新的向量的每个分量开n次方

>> ans.^(1/3)

ans =

    2.1544
    1.0000
    0.4642

对该列向量进行归一化即可得到权重向量

结果：

注：权重和应为1，这里由于四舍五入所以会有可以忽略的差距。

特征值法求权重：

步骤：

1.在MATLAB中使用eig命令求特征值和特征向量：

A =

    1.0000    2.0000    5.0000
    0.5000    1.0000    2.0000
    0.2000    0.5000    1.0000

>> [v,r] = eig(A)

v =

  -0.8902 + 0.0000i  -0.8902 + 0.0000i  -0.8902 + 0.0000i
  -0.4132 + 0.0000i   0.2066 + 0.3578i   0.2066 - 0.3578i
  -0.1918 + 0.0000i   0.0959 - 0.1661i   0.0959 + 0.1661i


r =

   3.0055 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i  -0.0028 + 0.1290i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0028 - 0.1290i

找出最大特征值为3.0055
2. 对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重：
最大特征值对应的特征向量

  -0.8902 + 0.0000i  
  -0.4132 + 0.0000i  
  -0.1918 + 0.0000i

归一化：

0.5954
0.2764
0.1283

三种方法计算的权重结果：

将计算结果填入权重表，得到：

计算评价准则的权重：

得到评价准则的判断矩阵：

用三种方法计算权重：
填入表格：

求出其它评价准则对应的权重：

汇总结果得到权重矩阵:

根据权重表格计算每个目标的得分：

类似我们求出：

结果：

因此最佳的旅游景点是桂林

总结：

1.建立层次结构：

2.构造准则层之间判断矩阵：

3.构造方案层之间判断矩阵：

4.对以上每个判断矩阵进行一致性检验(通过后才能计算权重)：

5.通过检验后根据权重矩阵计算得分，并进行排序
三种方法计算权重：

注意事项：

一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验
在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算权重，以上讲解的只是为了顺应计算过程。
特征值可用MATLAB进行计算，如果特征值中有虚数，则比较的是特征值的模长。
如果CR > 0.1 ，我们可以往一致矩阵上调整(这个就看你自己了,反正评委也不知道是吧～)
平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15

层次分析法的一些局限性：

评价的准则层n不能太多(一般不超过十个)，太多的话n(最多是15)会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

代码(含有详细注释)：

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);
% % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)
% % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

可以参考的矩阵：

将以下五个矩阵依次输入以上代码中就可以直接求出各种结果

评价准则：
[1, 1/2, 4, 3, 3;
 2, 1,   7, 5, 5;
 1/4, 1/7, 1, 1/2, 1/3;
 1/3, 1/5, 2, 1, 1;
 1/3, 1/5, 3, 1, 1]

景色：
[1,2,5;
1/2,1,2;
1/5,1/2,1;]

花费：
[1,1/3,1/8;
3,1,1/3;
8,3,1;]

居住：
[1,1,3;
1,1,3;
1/3,1/3,1;]

饮食：
[1,3,4;
1/3,1,1;
1/4,1,1;]

交通 ：
[1,1,1/4;
 1,1,1/4;
 4,4,1;]