首先什麼是二分圖
顧名思義就是能分成兩個部分的圖。
要注意的是，‘分’的是點並且這兩個集合（這裏我們稱作X集合和Y集合）內部所有的點之間沒有邊相連，也就是說X集合中任何兩點之間都不會有邊相連， Y亦然。
無向圖G爲二分圖的一個充要條件是（定理）：
- G中至少包含兩個頂點
- G中所有的迴路長度都必須是偶數
匹配：設G=<V, E>爲二分圖，如果 M⊆E，並且 M 中兩點沒有任何兩點有公共端點（被其他匹配的邊共用），則成M爲G的一個匹配。
最大匹配：邊數最多的匹配。
完備匹配與完全匹配：若 X 中所有的頂點都是匹配 M 中的端點。則稱 M 爲X的完備匹配。 若M既是 X-完備匹配又是 Y-完備匹配，則稱M 爲 G 的完全匹配。
最小點覆蓋：用儘可能少的點去覆蓋所有的邊。
最大點獨立：跟網絡流中的最大點權獨立集有點類似，這裏指的是最大獨立的個數。
接下來是二分圖的一些性質：
設無向圖G有n個頂點，並且沒有孤立頂點，那麼，
-
點覆蓋數 + 點獨立數 = n
-
最小點覆蓋數 = 二分圖的最大匹配
-
最大點獨立數 = n - 最小點覆蓋數 = n - 最大匹配
二分圖的判定：
判斷一個圖是不是二分圖有兩條1、n>= 2 2、不存在奇圈
我們可以用黑白染色的方法進行判斷：
（
交叉染色法
下面着重介紹下交叉染色法的定義與原理
首先任意取出一個頂點進行染色,和該節點相鄰的點有三種情況:
1.未染色 那麼繼續染色此節點(染色爲另一種顏色)
2.已染色但和當前節點顏色不同 跳過該點
3.已染色並且和當前節點顏色相同 返回失敗(該圖不是二分圖)
下面在拓展兩個概念:
（1） 如果一個雙連通分量內的某些頂點在一個奇圈中（即雙連通分量含有奇圈），那麼這個雙連通分量的其他頂點也在某個奇圈中；
第一個條件的證明:我們假設有一個奇圈，因爲是點雙，沒有割點，必然有緊挨着的圈，假設這個是偶數圈，則，這個偶數圈必然能和原來的奇圈組成新的奇圈(因爲：新的圈=（奇數圈-k）+（偶數圈-k）=奇數+偶數-偶數=奇數，k是共同邊上的點數
（2） 如果一個雙連通分量含有奇圈，則他必定不是一個二分圖。反過來也成立，這是一個充要條件。
）
二分圖的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
二分圖：簡單來說，如果圖中點可以被分爲兩組，並且使得所有邊都跨越組的邊界，則這就是一個二分圖。準確地說：把一個圖的頂點劃分爲兩個不相交集 UU 和VV ，使得每一條邊都分別連接UU、VV中的頂點。如果存在這樣的劃分，則此圖爲一個二分圖。二分圖的一個等價定義是：不含有「含奇數條邊的環」的圖。
匹配：在圖論中，一個「匹配」（matching）是一個邊的集合，其中任意兩條邊都沒有公共頂點。例如，圖 3、圖 4 中紅色的邊就是圖 2 的匹配。
交替路：從一個未匹配點出發，依次經過非匹配邊、匹配邊、非匹配邊…形成的路徑叫交替路。
增廣路：從一個未匹配點出發，走交替路，如果途徑另一個未匹配點（出發的點不算），則這條交替路稱爲增廣路（agumenting path）。例如，圖 5 中的一條增廣路如圖所示（圖中的匹配點均用紅色標出）：
增廣路有一個重要特點：非匹配邊比匹配邊多一條。因此，研究增廣路的意義是改進匹配。只要把增廣路中的匹配邊和非匹配邊的身份交換即可。由於中間的匹配節點不存在其他相連的匹配邊，所以這樣做不會破壞匹配的性質。交換後，圖中的匹配邊數目比原來多了 1 條。
我們可以通過不停地找增廣路來增加匹配中的匹配邊和匹配點。找不到增廣路時，達到最大匹配（這是增廣路定理）。匈牙利算法正是這麼做的。
// 頂點、邊的編號均從 0 開始
// 鄰接表儲存
struct Edge
{
int from;
int to;
int weight;
Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};
vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存儲頂點 i 出發的邊的編號 */
vector<Edge> edges;
typedef vector<int>::iterator iterator_t;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;
int matching[__maxNodes]; /* 存儲求解結果 */
int check[__maxNodes];
bool dfs(int u)
{
for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 對 u 的每個鄰接點
int v = edges[*i].to;
if (!check[v]) { // 要求不在交替路中
check[v] = true; // 放入交替路
if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
// 如果是未蓋點，說明交替路爲增廣路，則交換路徑，並返回成功
matching[v] = u;
matching[u] = v;
return true;
}
}
}
return false; // 不存在增廣路，返回失敗
}
int hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
for (int u=0; u < num_left; ++u) {
if (matching[u] == -1) {
memset(check, 0, sizeof(check));
if (dfs(u))
++ans;
}
}
return ans;
}
匈牙利算法的要點如下
從左邊第 1 個頂點開始，挑選未匹配點進行搜索，尋找增廣路。
- 如果經過一個未匹配點，說明尋找成功。更新路徑信息，匹配邊數 +1，停止搜索。
- 如果一直沒有找到增廣路，則不再從這個點開始搜索。事實上，此時搜索後會形成一棵匈牙利樹。我們可以永久性地把它從圖中刪去，而不影響結果。
由於找到增廣路之後需要沿着路徑更新匹配，所以我們需要一個結構來記錄路徑上的點。DFS 版本通過函數調用隱式地使用一個棧，而 BFS 版本使用 prev 數組。