學習筆記
學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌 》-張天蓉；
分形與圖像
世界上看起來千變萬化的一切，恐怕都是由幾條簡單的生成規則演化出來的。就像我們在計算機程序裏，用一個簡單的方程進行迭代迭代再迭代，細胞分裂分裂再分裂，一代又一代，最後成就了我們大千世界中的各種生物體。
計算機技術使得我們能探索分形的複雜性，分形數學又反過來造福於計算機技術。科學和技術總是相輔相成，互相推波助瀾。科學始於探索，技術立足於應用。探索能發現自然之美，應用則創造人工之巧。
複雜是一種美，簡單也是一種美。科學的宗旨之一可以說就是要用簡單的規律來描述複雜的大自然。複雜的形態背後可能隱藏着簡單的法則。
隨着社會的發展，數據量越來越大，人們開始不滿足於用傳統的方法存儲數據。如何在保證一定質量的情況下，將存儲的信息量壓縮到越少越好，成了急需解決的問題。
從分形的這種簡單表示複雜的特性，人們很自然地想到了將分形用於作爲計算機中儲存、壓縮圖形資料的一種方式。比如像曼德勃羅集那樣複雜的圖形，只不過是用一個簡單的方程()就能表示出來。
我們以黑白色科赫曲線圖的存儲爲例，看一下傳統存儲方式與分形存儲的區別：
第一種是最原始的方法，是將圖形分成許多小格子（像素）。例如，我們可以將上圖分成256×640個小格子，也就是共163840個像素。然後，需要將這些像素所具有的信息儲存起來。因爲黑白色科赫曲線圖只是黑白圖形，每一個像素的信息不是黑就是白，正好對應於比特的0或1。這意味着，一個像素需要一個比特來表示。因此，要用這種編碼方法儲存整個圖形，需要的比特數就等於163840。
第二種方法是將圖形看作若干點和線。上面的圖中共有256條直線，經由256個點逐次連成。所以，只要儲存這256個點的位置就可以了。因爲每個點在圖中的位置需要用兩個整數表示，而每個整數都需要用32個比特來表示。因此，第二種編碼方法需要的比特數是256×2×32＝16384。顯然，第二種方法比第一種方法更經濟合算，因爲它將信息壓縮了10倍。
如果我們把這個圖形用它的分形的初始值及迭代函數來編碼的話，需要儲存的信息只包括4次線性變換迭代以及2個初始點位置。將這些數值換算成比特數，只需要928個比特就可以了。相對原始的163840比特而言，就等於信息被壓縮了100倍以上。
看到這裏，我突然想到以前在做心電信號去噪時，曾經用傅里葉變換將信號由時域轉向頻域，再對分解後的信號分別進行處理。
同樣，在對聲音信號進行壓縮時，也會用到傅里葉變換。
相比於原始的信號存儲方法，傅里葉的信號存儲方法大大節省了空間(儲存頻譜的優點是儲存的信息量少)。
原始方法：把聲音的強度按不同時間點列成一個表儲存起來(比如說，轉換成電信號保存到磁帶上)；
傅里葉變換法：將聲音信號分解成多個正弦函數，只需記錄這些正弦函數的振幅、頻率、初項，以完成信號存儲。
剛纔說到的是對聲音信息的傅里葉變換處理。回到圖像編碼領域，原理也是類似的，只不過需要將時間用二維空間來代替。對信號的傅里葉變換壓縮，利用的是信號的頻率特徵。用分形的原理進行圖像壓縮，則是利用圖形的自相似性。
分形圖像壓縮的方法（也稱迭代函數系統IFS方法）是美國佐治亞理工學院的巴恩斯利教授首創的。但分形圖像壓縮技術至今仍然不夠成熟。儘管目前已有商品化的計算機軟件，但仍有許多問題尚待解決。分形圖像壓縮的解碼速度很快，但編碼速度慢，比較適合一次寫入、多次讀出的文檔。
人體中的分形與混沌
分形在生物形態中普遍存在，這是人所共知的事實，大自然中不少動植物存在分形圖案的例子。
生命科學中，人們在對人體器官的研究中發現，自相似性、分形、混沌的影子幾乎無所不在(比如：人腦的表面、小腸結構、神經元分別)。有人認爲，生物體中每個單元的形態結構、遺傳特性等，都在不同程度上可看作是生物整體的縮影(比如：人耳的形狀，很像母體胚胎中蜷縮的嬰兒)。
俗話說，大腦的皺紋越多人越聰明.
科學家們對人腦表面進行研究，發現從人腦表面皺紋的分形結構模型出發，估算出的分形維數爲2.73～2.78。我們從分形幾何的角度來說，大腦表面褶皺越多，分形維數就越高，就越是逼近於我們所處的三維空間的維數。分形維數越高，表明在同樣有限的空間內，大腦能佔有更大的表面積，就有可能具備更爲複雜的思考能力。因此，大腦的分形結構，使得可能用最優化的觀點來解釋大腦的功能，諸如信息存儲、存儲容量、對外界刺激的敏感性等。
分形和混沌是相通的，混沌實際上可以看作是時間上的分形。
在人體生命科學中，除了觀察到器官等的空間分形結構之外，也觀察到，心臟中輸送的電流脈衝、心跳節律、腦電波等，這些隨時間變動的波形曲線均是分形。
當科學家們將分形及混沌的概念最初引進醫學研究時，他們期望能用這種不規則現象來描述和診斷病患者的心率及腦電波可能出現的某種不規則情形，即病態。然而，觀察結果卻大大出乎他們的意料。 人們根據直覺以及傳統醫學的觀念，一般認爲心率正常意味着健康，腦電波不規律可能表明了神經錯亂，如果混沌魔鬼出現在心臟跳動中，似乎就應該是疾病和衰老的象徵了。但是，生理學分形研究所得的事實卻正好相反,當人們用時間序列曲線來表示心率的變化情況時發現：健康成人的心率曲線是凹凸不平的不規則形狀，呈現某種自相似性，貌似混沌。而癲癇患者和帕金森病患的心率曲線反而呈現出更多的規律性和週期性。
另外，患有白血病的患者，白細胞數目的變化顯示出週期性，而健康人的白細胞數的變化則具有混沌的特點。
對人體的神經系統而言，混沌也是正常、健康的常態和特徵。健康的生理狀態在本質上應該是混沌的。反之，如果複雜性丟失，等時節律越來越多的話，意味着病態和衰老的來臨。
如何從混沌理論的觀點來解釋這些出乎傳統醫學意料的結果呢？
一個混沌的系統，不會只停留在少數幾個固定的狀態，而是在所有可能的狀態之間貌似隨機地跳來跳去，這種狀態遍歷、不可預測的特性，使得健康的人體能具有高度的適應性和靈活性，可以應付各種複雜環境和條件變化。
比如說，人腦可以看成是一個複雜的、多層次的混沌系統，因而，腦的工作是混沌的，是基於一種對初值非常敏感的蝴蝶效應。也正因爲如此，人的行爲才能表現出智慧和敏銳。人腦越複雜、越混沌，其調節應變的能力也越強。如果人腦發出的α波變得更規則有序了，說明腦袋有了病變，人的行爲也成爲癡呆、固定，也就是俗話所說的腦筋轉不過彎來。
同時，科學家們還發現：分形維數隨分子進化而增大。例如：線粒體分形維數約爲1.2，病毒及其宿主，原核和真核的分形維數約爲1.5， 而哺乳類核酸分子的分形維數約爲1.7.基於人和其他物種心率曲線混沌程度的對比，揭示出：混沌是衡量生物體制進化的一個定量指標。