学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌 》-张天蓉；
分形与图像
世界上看起来千变万化的一切，恐怕都是由几条简单的生成规则演化出来的。就像我们在计算机程序里，用一个简单的方程进行迭代迭代再迭代，细胞分裂分裂再分裂，一代又一代，最后成就了我们大千世界中的各种生物体。
计算机技术使得我们能探索分形的复杂性，分形数学又反过来造福于计算机技术。科学和技术总是相辅相成，互相推波助澜。科学始于探索，技术立足于应用。探索能发现自然之美，应用则创造人工之巧。
复杂是一种美，简单也是一种美。科学的宗旨之一可以说就是要用简单的规律来描述复杂的大自然。复杂的形态背后可能隐藏着简单的法则。
随着社会的发展，数据量越来越大，人们开始不满足于用传统的方法存储数据。如何在保证一定质量的情况下，将存储的信息量压缩到越少越好，成了急需解决的问题。
从分形的这种简单表示复杂的特性，人们很自然地想到了将分形用于作为计算机中储存、压缩图形资料的一种方式。比如像曼德勃罗集那样复杂的图形，只不过是用一个简单的方程()就能表示出来。
我们以黑白色科赫曲线图的存储为例，看一下传统存储方式与分形存储的区别：
第一种是最原始的方法，是将图形分成许多小格子（像素）。例如，我们可以将上图分成256×640个小格子，也就是共163840个像素。然后，需要将这些像素所具有的信息储存起来。因为黑白色科赫曲线图只是黑白图形，每一个像素的信息不是黑就是白，正好对应于比特的0或1。这意味着，一个像素需要一个比特来表示。因此，要用这种编码方法储存整个图形，需要的比特数就等于163840。
第二种方法是将图形看作若干点和线。上面的图中共有256条直线，经由256个点逐次连成。所以，只要储存这256个点的位置就可以了。因为每个点在图中的位置需要用两个整数表示，而每个整数都需要用32个比特来表示。因此，第二种编码方法需要的比特数是256×2×32＝16384。显然，第二种方法比第一种方法更经济合算，因为它将信息压缩了10倍。
如果我们把这个图形用它的分形的初始值及迭代函数来编码的话，需要储存的信息只包括4次线性变换迭代以及2个初始点位置。将这些数值换算成比特数，只需要928个比特就可以了。相对原始的163840比特而言，就等于信息被压缩了100倍以上。
看到这里，我突然想到以前在做心电信号去噪时，曾经用傅里叶变换将信号由时域转向频域，再对分解后的信号分别进行处理。
同样，在对声音信号进行压缩时，也会用到傅里叶变换。
相比于原始的信号存储方法，傅里叶的信号存储方法大大节省了空间(储存频谱的优点是储存的信息量少)。
原始方法：把声音的强度按不同时间点列成一个表储存起来(比如说，转换成电信号保存到磁带上)；
傅里叶变换法：将声音信号分解成多个正弦函数，只需记录这些正弦函数的振幅、频率、初项，以完成信号存储。
刚才说到的是对声音信息的傅里叶变换处理。回到图像编码领域，原理也是类似的，只不过需要将时间用二维空间来代替。对信号的傅里叶变换压缩，利用的是信号的频率特征。用分形的原理进行图像压缩，则是利用图形的自相似性。
分形图像压缩的方法（也称迭代函数系统IFS方法）是美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授首创的。但分形图像压缩技术至今仍然不够成熟。尽管目前已有商品化的计算机软件，但仍有许多问题尚待解决。分形图像压缩的解码速度很快，但编码速度慢，比较适合一次写入、多次读出的文档。
人体中的分形与混沌
分形在生物形态中普遍存在，这是人所共知的事实，大自然中不少动植物存在分形图案的例子。
生命科学中，人们在对人体器官的研究中发现，自相似性、分形、混沌的影子几乎无所不在(比如：人脑的表面、小肠结构、神经元分别)。有人认为，生物体中每个单元的形态结构、遗传特性等，都在不同程度上可看作是生物整体的缩影(比如：人耳的形状，很像母体胚胎中蜷缩的婴儿)。
俗话说，大脑的皱纹越多人越聪明.
科学家们对人脑表面进行研究，发现从人脑表面皱纹的分形结构模型出发，估算出的分形维数为2.73～2.78。我们从分形几何的角度来说，大脑表面褶皱越多，分形维数就越高，就越是逼近于我们所处的三维空间的维数。分形维数越高，表明在同样有限的空间内，大脑能占有更大的表面积，就有可能具备更为复杂的思考能力。因此，大脑的分形结构，使得可能用最优化的观点来解释大脑的功能，诸如信息存储、存储容量、对外界刺激的敏感性等。
分形和混沌是相通的，混沌实际上可以看作是时间上的分形。
在人体生命科学中，除了观察到器官等的空间分形结构之外，也观察到，心脏中输送的电流脉冲、心跳节律、脑电波等，这些随时间变动的波形曲线均是分形。
当科学家们将分形及混沌的概念最初引进医学研究时，他们期望能用这种不规则现象来描述和诊断病患者的心率及脑电波可能出现的某种不规则情形，即病态。然而，观察结果却大大出乎他们的意料。 人们根据直觉以及传统医学的观念，一般认为心率正常意味着健康，脑电波不规律可能表明了神经错乱，如果混沌魔鬼出现在心脏跳动中，似乎就应该是疾病和衰老的象征了。但是，生理学分形研究所得的事实却正好相反,当人们用时间序列曲线来表示心率的变化情况时发现：健康成人的心率曲线是凹凸不平的不规则形状，呈现某种自相似性，貌似混沌。而癫痫患者和帕金森病患的心率曲线反而呈现出更多的规律性和周期性。
另外，患有白血病的患者，白细胞数目的变化显示出周期性，而健康人的白细胞数的变化则具有混沌的特点。
对人体的神经系统而言，混沌也是正常、健康的常态和特征。健康的生理状态在本质上应该是混沌的。反之，如果复杂性丢失，等时节律越来越多的话，意味着病态和衰老的来临。
如何从混沌理论的观点来解释这些出乎传统医学意料的结果呢？
一个混沌的系统，不会只停留在少数几个固定的状态，而是在所有可能的状态之间貌似随机地跳来跳去，这种状态遍历、不可预测的特性，使得健康的人体能具有高度的适应性和灵活性，可以应付各种复杂环境和条件变化。
比如说，人脑可以看成是一个复杂的、多层次的混沌系统，因而，脑的工作是混沌的，是基于一种对初值非常敏感的蝴蝶效应。也正因为如此，人的行为才能表现出智慧和敏锐。人脑越复杂、越混沌，其调节应变的能力也越强。如果人脑发出的α波变得更规则有序了，说明脑袋有了病变，人的行为也成为痴呆、固定，也就是俗话所说的脑筋转不过弯来。
同时，科学家们还发现：分形维数随分子进化而增大。例如：线粒体分形维数约为1.2，病毒及其宿主，原核和真核的分形维数约为1.5， 而哺乳类核酸分子的分形维数约为1.7.基于人和其他物种心率曲线混沌程度的对比，揭示出：混沌是衡量生物体制进化的一个定量指标。