學習筆記
學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌 》-張天蓉；
斯梅爾與混沌
從前幾個Blog我們知道李雅普諾夫指數所對應的是系統的局部穩定性，是關於每個平衡點穩或不穩的問題。而斯梅爾感興趣的與之不同，是所謂結構穩定性的問題，結構穩定性考慮的是系統整體全局性的穩定，是整體拓撲結構的穩定性。在研究結構穩定性的過程中，斯梅爾發現了馬蹄。
梅爾用馬蹄映射的壓縮、拉伸和摺疊來模擬動力系統中混沌軌道複雜性的形成過程，這實際上就像廚師揉麪團的過程，也是山西拉麪的製作過程。伸縮變換使相鄰狀態不斷分離而造成軌道發散，摺疊變換產生不可預見的不規則軌道形態。比如說，如果廚師在揉麪團之前在麪糰表面塗上一層紅色，在不停循環往復的揉捏、擀平、壓縮、捲曲過程中，紅色麪粉粒子就如同動力系統的軌道，原來相近的可能逐漸分開，原來距離很遠的可能不斷靠近，最後完全忘記了它們的初始狀態，呈現混沌。下圖爲斯梅爾的馬蹄變換：
斯梅爾證明了，馬蹄映射函數既是混沌的，又是結構穩定的。因此，在馬蹄映射中，混沌、局部不穩定、結構穩定，三者同時存在。
馬蹄映射以嚴格的數學模型解釋了混沌的本質，提供了一個對動力系統運動的直觀幾何圖像，證明了混沌吸引子的確存在，不是計算機的數值計算誤差製造出來的，而主要是由於系統的非線性特性在作怪。
混沌現象是非線性系統的特徵，有限維的線性系統不會生出混沌魔鬼，但無限維的線性系統有可能產生混沌。自然界中更多的是非線性系統，自然現象就其本質來說，是複雜而非線性的。因此，混沌現象是大自然中常見的普遍現象。當然，許多自然現象可以在一定程度上近似爲線性，這就是迄今爲止傳統物理學和其他自然科學的線性模型能取得巨大成功的原因。