学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌 》-张天蓉；
斯梅尔与混沌
从前几个Blog我们知道李雅普诺夫指数所对应的是系统的局部稳定性，是关于每个平衡点稳或不稳的问题。而斯梅尔感兴趣的与之不同，是所谓结构稳定性的问题，结构稳定性考虑的是系统整体全局性的稳定，是整体拓扑结构的稳定性。在研究结构稳定性的过程中，斯梅尔发现了马蹄。
梅尔用马蹄映射的压缩、拉伸和折叠来模拟动力系统中混沌轨道复杂性的形成过程，这实际上就像厨师揉面团的过程，也是山西拉面的制作过程。伸缩变换使相邻状态不断分离而造成轨道发散，折叠变换产生不可预见的不规则轨道形态。比如说，如果厨师在揉面团之前在面团表面涂上一层红色，在不停循环往复的揉捏、擀平、压缩、卷曲过程中，红色面粉粒子就如同动力系统的轨道，原来相近的可能逐渐分开，原来距离很远的可能不断靠近，最后完全忘记了它们的初始状态，呈现混沌。下图为斯梅尔的马蹄变换：
斯梅尔证明了，马蹄映射函数既是混沌的，又是结构稳定的。因此，在马蹄映射中，混沌、局部不稳定、结构稳定，三者同时存在。
马蹄映射以严格的数学模型解释了混沌的本质，提供了一个对动力系统运动的直观几何图像，证明了混沌吸引子的确存在，不是计算机的数值计算误差制造出来的，而主要是由于系统的非线性特性在作怪。
混沌现象是非线性系统的特征，有限维的线性系统不会生出混沌魔鬼，但无限维的线性系统有可能产生混沌。自然界中更多的是非线性系统，自然现象就其本质来说，是复杂而非线性的。因此，混沌现象是大自然中常见的普遍现象。当然，许多自然现象可以在一定程度上近似为线性，这就是迄今为止传统物理学和其他自然科学的线性模型能取得巨大成功的原因。