目錄
1 概述
機器人學中有很多不同的模型，爲了準確控制這些模型，要進行精準的辨識。系統辨識是通過測量來辨識模型的。一般來說有兩種模型：參數模型和非參數模型。
參數模型由幾個參數來描述，這些參數足以描述模型在整個工作範圍內的精度。例如包括傳感器增益和偏移、連桿的DH參數和剛體慣性參數。參數化模型特別適合於描述機器人，其部件是人造的，其特性是受控和可理解的。
非參數化模型包括脈衝響應，線性系統的Bode圖，非線性系統的Wiener和Volterra核。一個非參數化模型可以被用來當作辨識一個參數化模型的墊腳石。舉例來說，一個Bode圖經常被用於判斷一個模型的階次，比如一個執行器是否應該按照一個二階或三階系統來建模。否則的話，當一個系統的性質非常複雜以至於幾乎找不到幾個能夠集中描述的參數時，就需要非參數化模型了。
2 運動學標定
運動學標定的主要目的是辨識幾何的DH參數，儘管也可以識別與傳感和傳輸元件相關的基於關節的參數。運動學標定是幾個相互關聯的物體座標系的定位過程。這些物體有可能互相獨立或者是由關節連接。
舉例包括：
– 根據全局參考座標系定位一個機器人
– 相對於機器人座標系定位立體視覺系統
– 相對於機器人末端抓取座標系定位被抓物體
– 定位機器人相鄰連桿座標系
假設有N個參數構成了一個N×1的向量φ = {φ1, . . . , φN}。這些參數可以構成線性化/非線性化的模型。
其中
是一個M×1的輸出向量，
是一個n×1的輸入向量。對於線性模型來說，A是一個M×N的矩陣，其參數Aij是輸入變量x的函數。任意一個Aij都有可能是x的一個很複雜的非線性函數，但是它最終產生的是一個數字。對於非線性模型來說，這是一個顯式方程，輸入變量出現在非線性函數f = { f1, . . . , fM}中。隱式非線性模型
也可能出現在標定中，它的處理方式和顯示非線性模型類似。
我們可能有P個不同的測量值，一個特定的測量用上標l=1，2，...，P表示。
對於線性模型，來自不同測量的信息可以通過疊加P個方程組合而成：
其中
是一個所有輸出測量的MP×1的向量，
是MP×N的矩陣。參數通過普通最小二乘法求得。
在統計學中，矩陣A稱爲迴歸矩陣，最小二乘解稱爲迴歸項。線性模型的一個例子是慣性參數的剛體模型。
通常採用高斯-牛頓法估計非線性模型。首先，將輸入變量xl（可以看作是一個常數）代入到非線性函數fl中，現在給出上標l。該模型通過迭代k時在參數的當前估計φk處泰勒級數展開線性化：
其中
是輸出變量的計算值，
是一個在φk下求值的雅可比矩陣。泰勒級數中的高階項被忽略，產生線性化形式。大膽的假設現在對參數估計值φk進行修正Δφ，使計算的輸出變量等於測量值：
。將
定義爲輸出測量值與當前模型φk的預測輸出之間的誤差，線性化方程變爲：
然後將P次測量的線性化方程疊加，以獲得估計形式：
參數估計的修正Δφ可以由普通最小二乘法找到：
通過代入新的估計式
不斷迭代直到誤差Δφ非常小。Gauss-Newton方法具有二次收斂性，在參數初值φ0良好且非線性不太嚴重的情況下，收斂速度很快。一個非線性模型的例子是包含DH參數的運動學模型。由於非線性是由正弦和餘弦引起的，因此Gauss-Newton方法通常具有良好的收斂性。
2.1 串聯機器人
一般來說，確定座標系之間的相對關係需要標定六個幾何參數（位置和姿態）。如果座標系的相對運動有機械約束，比如由關節連接，那麼所需參數更少。對於由旋轉關節連接的兩連桿來說，它的軸是一個線邊界向量，需要四個幾何參數。對於軸爲自由矢量的平移關節，只需要兩個描述方向的幾何參數。此外，還需要非幾何參數來描述傳感器和機械偏移。
使用改進的DH模型建模，對於一個由n個旋轉關節構成的機器人來說，四個參數a、d、α、θ都需要辨識。對於相鄰軸幾乎平行的情況，建模方法不再適用。爲了解決這個問題，Hayati引入了一個用來描述yi-1軸的旋轉參數βi。因此參數向量φ=[a d α θ β]可以描述基座標系到末端座標系的位姿變換。
不是所有六個位姿參數都需要標定。標定取決於觀測一定數量的位姿分量的預測誤差，然後使用非線性標定方法。
- 開環標定利用外部計量系統測量位姿。由於機械手在這個過程中不與環境接觸，這種方法被稱爲開環。
- 閉環標定利用末端連桿位姿的物理約束來代替測量，與物理約束的偏差即爲預測誤差。由於與物理約束的接觸，機械手與地面形成閉環。
2.1.1 開環運動學標定
根據所測位姿參數數目的不同，標定可分爲以下幾類：
一個參數：可以通過多種方式測量到末端連桿上單個點的距離，例如儀表球棒、線電位計或激光位移計。
兩個參數：使用一臺經緯儀提供兩個方位測量，需要提供一個參考長度用來縮放。
三個參數：激光跟蹤系統提供精確的三維測量，通過安裝在末端的反光效應器產生反射光束提供長度信息，萬向輪驅動激光轉向提供兩個方向測量。這種測量的最不精確部分在於角度，另一種方法是使用三個激光跟蹤系統獲取長度信息。商業三維立體攝像機運動跟蹤系統還提供高精度位置測量。
五個參數：Lau等人介紹了一種帶可操縱反射鏡的可操縱激光干涉儀。通過俯仰和偏航測量，可操縱干涉儀產生位置的所有三個分量，而可操縱反射鏡產生方向的兩個分量。
六個參數：全姿態可以從立體攝像系統測量的最後一個環節上多個點的三維位置推斷出來。與點雲匹配的座標系產生位置加方向。Vincze等人使用單光束激光跟蹤系統，通過在機器人上安裝一個安裝在萬向節上的後向反射器來測量全姿態。像往常一樣，位置是用干涉法測量的，新的地方在於通過成像後向反射器邊緣的衍射圖案來進行方向測量。
- 點測量
末端連桿上一點的3D位置可以用某種形式的立體相機系統測量出來。相機系統定義了一個相對於機器人座標系1的全局座標系。爲了提供足夠的參數，必須引入一箇中間座標系。這個中間座標系記爲座標系0，相機座標系記爲座標系1，8個參數中有2個是任意的。
末端連桿的原點On和軸xn以及相關參數dn和θn均未指定。定位一個點僅需要三個參數，因此新增加的座標系n+1僅需要提供一個新的參數。待測點被定義爲新座標系的原點On+1，與zn和On+1相交的法線定義了xn軸。指定zn+1和zn共線（αn+1=0），xn+1和xn共線（θn+1=0，dn+1=0），這樣需要標定的參數就只有an+1, dn和θn。
把未知的運動學參數寫成向量φ=[a d α θ β]，非線性運動學模型：
其中ql是位姿l下的關節變量。寫出每種參數相關的雅可比矩陣，將模型線性化：
其中雅可比矩陣滿足：
將所有最終估計的位姿疊加：
用最小二乘法和迭代法分別求解Δφ和φ。
- 完全位姿測量
假設連桿n的座標系n+1已經測量了。
座標系n是用以往的方法確定的，六個用來定位座標系n+1的標定參數是dn, αn, θn, an+1, dn+1, 和θn+1。如果zn+1和zn幾乎平行，爲了避免使用Hayati參數，這個軸可以和另一個軸如yn+1置換，除了位置方程
座標系n+1的姿態方程爲
，其中F是矩陣函數。線性化這個等式得到：
其中
是與角速度矢量相對應的差分正交旋轉。因此表示空間速度的雅可比矩陣J可用來表示參數變量Δφ在位置上的變化
和姿態上的變化：
雅可比矩陣Jl現在有6行：
同樣的，用最小二乘法和迭代法分別求解Δφ和φ。
2.1.2 閉環運動學標定
由於不正確的運動模型而導致的與物理約束的偏差被轉換爲與參考座標的位移。類似於點測量和全姿態測量，閉環方法包括點約束和全姿態約束。
- 點約束
假設末端執行器持有與環境中的固定點接觸的觸筆。只要接觸點沒有改變，就可以通過改變關節角度來改變觸筆的方向。首先，用於點測量的測量系統定義了參考座標系-1（圖14.3），並且存在一個末端座標系n+1，其原點On+1可測（圖14.4）。現在，參考座標原點O0具有索引0，並且與On+1重合（圖14.6）。這時不再需要額外的座標系-1，因爲一個點相對於座標系1的位置只由三個參數決定：a1、d1和θ1。任意選擇α1=0，即z0與z1平行。
可以手動生成保持點接觸時的不同姿態，如果有力控制能力，也可以自動生成。與（14.13）相比，測量位置
通過定義和線性化標定方程爲：
。和開環標定相比，生成的位姿是有限的，這有可能影響可辨識性。
- 全位姿約束
與全姿態測量（圖14.5）類似，末端連桿可能會受到牢牢抓住環境的完全約束。如果操縱器是冗餘的，那麼位姿可以通過自運動生成。產生這種位姿需要實現端點力/扭矩傳感或關節扭矩傳感。
由於是剛性連接，末端連桿可以被視爲地面的一部分，因此需要的座標系比固定點情況少一個。圖14.7顯示了爲了標定設置座標系O0和On的一種方法。軸z0與軸zn重合。z0和z1之間的公共法線設置原點O0和軸x0。座標系n通過定義On=O0和xn=x0實現。標定需要的六個參數θn、dn、α1、a1、d1和θ1必須將座標系n與座標系0聯繫起來。
測量位置通過定義和線性化標定方程爲：
。
考慮到方位誤差，測量的姿態矩陣
，索引值調整後：
誤差方程可用於全位姿測量。