Ying, Zhitao, et al. "Hierarchical graph representation learning with differentiable pooling." Advances in neural information processing systems. 2018.
阅读更多，欢迎关注公众号：论文收割机（paper_reader）
因为排版问题，很多图片和公式无法直接显示，欢迎关注我们的公众号点击目录来阅读原文。
引言
现有的图神经网络大多数是平面化的（flat）学习方式，也就是所有网络信息的传播（propagation）都可以想象成将网络铺开，在同一个网络平面上点与点之间通过边来进行信息传播。
比如我们介绍过的graphsage模型，是直接从周围的邻居节点中aggregate信息。
而计算机视觉中的卷积神经网络CNN，在学习图片信息时，往往是层级化（hierarchical）地抽取信息，先是从local的pixel中卷积，最终输出一个对全图的信息表达。
这种层级化的深度学习架构就能够启发我们，当学习整个图（graph）的embedding，或者对整个图进行分类时，也应该考虑层级化的学习方式。比如，当学习一个分子图（molecular graph）时，我们可以通过层级化的学习方式来同时捕捉到local的信息和global的信息。
但是与图像不同，graph并没有办法直接对像素进行aggregation，从而能够设计对应的pooling方式。因为graph中的点是依靠边来连接，在空间上具有复杂的拓扑结构，任意的输入邻接矩阵来进行pooling，只会丢失更多的local信息。
因此，针对graph上的pooling层，我们首先需要找到每个节点在空间上的对应位置，也就是找到节点在pooling时属于哪一个cluster。所以，pooling的时候需要同时学习一个可以cluster分类的指标，能够依据node embedding将每个节点对应的cluster找到。
DIFFPOOL结构
DIFFPOOL结构是在graph中做池化操作的神经网络层，能够与任意的GNN结构组合来学习网络信息，GNN模型是将图的特征X和邻接矩阵A作为输入，最后输出每个节点的embedding。
Z仍然是具有相同数量n的节点，以及d维的embedding的矩阵。
经过pooling层后，由于节点信息被聚集到cluster中，所以只留下cluster的embedding，所以将得到一个新的更小的图结构，具有m个cluster。所以新的图的邻接矩阵以及特征矩阵分别是：
此时的m<n。
通过L次操作之后，最终的信息都被pooling到一个cluster中，用一个embedding来表示整个graph的信息。如下图所示
所以每层的pooling都是将上一层的特征和邻接矩阵作为输入，并对应输出pooling之后的特征和邻接矩阵：
因此graph pooling中最关键的就是如何将每个节点找到其对应的cluster，这就需要学习一个赋值矩阵（assignment matrix）
因此最关键的地方就是在于通过一个具有pooling结构的图神经网络，学习到从上一层输出到下一层的赋值矩阵：
该赋值矩阵其实本质上也是定义在图结构上的矩阵，因此可以将该赋值矩阵也通过图神经网络的结构来实现：
除了学习赋值矩阵之外，在优化该目标函数时，除了最终的图分类（graph classification）之外，还需要来考虑相邻的点应该尽可能被赋值到同样的cluster中，因此再加上边对应的regularization
另一个优化目标是该赋值矩阵应该尽可能地将节点分配到某一个cluster而不是每个cluster上都有对应的值，因此通过熵最小来减小无序度：
其中H是熵函数（entropy）。
实验
实验回答了以下三个问题：
-
如何比较本文提出的DIFFPOOL与其他的pooling方法？
-
DIFFPOOL与现有的GNN结合之后，如何与现有的一些，如GNN和kernel-based的图分类的方法进行对比？
-
DIFFPOOL如何计算出有意义并且可解释的cluster赋值矩阵？
实验中采用了三种类型的数据集：蛋白质分类，社交网络，以及科学协作图。前两个问题都比较好问答，通过将DIFFPOOL层与现有的graphsage框架结合，提升了图分类的表现。
而第三个问题则需要对DIFFPOOL进行内部计算的分析：
-
层级cluster结构，通过对每层中的赋值矩阵中的argmax的计算，得到将每个node分配到下一层中的一个cluster中，通过visualization展示了计算中community的性质能够被很好的保存。
-
稀疏图和密集图的学习。与聚类算法相似，DIFFPOOL能够将稠密子图学到同一个cluster中。同时，在稀疏图的结构中，一些树状结构或者路径结构的信息，也能够被DIFFPOOL聚集到同一个cluster中。
-
相似表示的节点被聚类到同一cluster。与普通聚类或者CNN中pooling不同的是，DIFFPOOL的聚类对具有相似特征的节点以及相似neighbor结构的节点的敏感度更高，因为学习的赋值矩阵是通过节点特征学习到的聚类函数，因此即使节点在原图结构上没有连接，但是还是会被学习进同一个cluster中。
-
对最大聚类数的敏感度。当预设的cluster数量很多，虽然会学到更复杂的层级结构，但是也将引入更多的参数，并且也会引入更多noise，从而使模型变得更加低效。但是DIFFPOOL能够通过end-to-end的学习，来使用合适数量的cluster，因为虽然定义的cluster很多，但是有的cluster上的值很小，所以尽管设置了很多的cluster数量，但是实际聚类的cluster数量并不多。
总结
DIFFPOOL通过定义了新的层级化Pooling层来抽取图的信息，比较关键的点在于通过学习赋值矩阵将不同的节点分配到不同的cluster中，同时结合了边预测的regularization，以及最小化熵值，来共同优化学习卷积参数。
该DIFFPOOL层能够被结合进现有的GNN网络结构中，从而学习到更丰富的层级化网络信息。
阅读更多，欢迎关注公众号：论文收割机（paper_reader）
因为排版问题，很多图片和公式无法直接显示，欢迎关注我们的公众号点击目录来阅读原文。
相关文章：