神奇少年的數據結構學習筆記五(樹)

1.樹的定義：

樹(Tree)是n(n>=0)個結點的有限集。n=0時稱爲空樹。在n>0時，在任意一顆非空的樹中

1. 有且僅有一個特定的稱爲根(Root)的結點,它沒有直接前驅，但有零個或多個直接後驅;
2. 當n>1時，其餘結點可分爲m(m>0)個互不相交的有限集.....,其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱爲根的子樹(SubTree)，每個子樹的根節點有且只有一個直接前驅，但有零個或多個直接後驅；

結點的概念

1. 結點 ：包含一個數據元素及若干指向其他結點的分支。
2. 結點的度：一個結點的子樹個數。
3. 分支結點：度不爲0的結點，又稱非終端結點
4. 終端結點：度爲0都結點，又稱葉結點
5. 結點的層次：從根開始，根爲第一層，根的子結點爲第二層，以此類推。
6. 結點之間的關係：結點的子樹的根稱爲該結點的孩子，相應地，該結點稱爲孩子的雙親結點。同一個雙親的孩子之間互稱兄弟結點。結點的祖先是從根到該結點所經分支上的所有結點。對於上圖 H來說 E，B,A都是它的祖先。反之，以某結點爲根的子樹的任一結點都是該結點的子孫。

   樹的概念

1. 樹的度：樹內所有結點的度的最大值。
2. 樹的高度：樹中結點層次的最大值爲樹的深度或高度。比如上圖的高度就是4.
3. 有序樹：將樹中各子樹看成從左到右是有次序的，不能互換的，則稱該樹爲有序樹，否則是無序樹。

4. 森林：m(m>=0)顆互不相交的樹的集合，對樹中的每個結點而言，其子樹的集合即爲森林。

線性結構和樹結構對比

線性結構	樹結構
第一個數據元素：無前驅	根節點：無雙親，唯一
最後一個數據元素：無後驅	葉結點：無孩子，可以多個
中間元素：一個前驅一個後驅	中間結點：一個雙親多個孩子

 

2.二叉樹的定義：

1. 每個結點的度都不大於2
2. 每個結點的孩子結點次序不能任意顛倒

由此得出：二叉樹的每個結點0、1或2個子樹，且有左右之分，左邊的是左子樹，右邊的是右子樹

二叉樹有五種基本形態

1. 空二叉樹
2. 只有一個根結點
3. 根結點只有左子樹
4. 根結點只有右子樹
5. 根結點既有左子樹又有右子樹

特殊二叉樹

1. 斜樹：每層只有一個結點
2. 滿二叉樹：所有的分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有的葉子都在同一層上
3. 完全二叉樹：按照滿二叉樹的順序而出現，中間沒有空隙

左斜樹和右斜樹

滿二叉樹和完全二叉樹

二叉樹的性質

1. 在二叉樹的第i層上至多有個結點（i>=1）
2. 深度爲k的二叉樹至多有-1個結點（k>=1）
3. 對任何一顆二叉樹T,如果其終端結點數爲,度爲2的結點數爲,則=+1
4. 具有n個結點的完全二叉樹的深度爲（）+1
5. 對於一顆有n個結點的完全二叉樹 ,對於任意結點有： 1.如果i=1，則i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親是結點（i/2）; 2.如果2i>n，則結點i無左子樹；否則其左子樹是結點2i;  3.如果2i+1>n。則結點i無左右子樹；否則其右子樹是結點2i+1;

3.二叉樹的存儲結構

1.順序存儲結構

二叉樹之間是有順序的，所有數組的下標足夠提醒二叉樹之間的順序關係，結點爲空的設置一個不存在的值就可以了，但是比如下圖的情況的話，空白的結點都要佔用存儲空間，所以順序存儲結構一般只適用於完全二叉樹。

 

2.二叉樹的鏈式存儲結構

二叉樹的每個結點最多有兩個孩子，所以爲它設計一個數據域和兩個指針域是比較自然的想法，我們稱這樣的鏈表叫做二叉鏈表。（如果有需要，還可以加上指向雙親的指針域，那樣稱爲三叉鏈表）

lchild

data

rchild

 

data是數據域，lchild和rchild都是指針域，分別存放左子樹和右子樹的指針。   

4.遍歷二叉樹

二叉樹的遍歷是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中的所有結點，使得每個結點被訪問且僅被訪問一次。

二叉樹的遍歷方法

1. 前序遍歷 :若二叉樹爲空，則空操作返回，否則先訪問根結點，然後前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹；例順序爲：ABDGHCEIG             

    

                            
2. 中序遍歷:若二叉樹爲空，則空操作返回，否則從根結點開始，中序遍歷根結點的左子樹，然後訪問根結點，最後中序遍歷右子樹；例順序爲：GDHBAEICF      
3. 後序遍歷:若二叉樹爲空，則空操作返回，否則從左到右先葉子後結點的方式遍歷訪問左右子樹，最後訪問根結點；例順序爲：GHDBIEFCA                                           
4. 層序遍歷:若二叉樹爲空，則空操作返回，否則先訪問根結點，然後從上而下逐層遍歷，同一層按從左到右的順序對結點逐個訪問；例順序爲：ABCDEFGHI 

 

說得再多關看文章或視頻是不能完全理解應用樹的結構的，還是要多刷一下算法題，才能更深一步的理解