算法題02：遞歸：大整數乘法的變式、二分搜索

一、給定 $2$ 個大整數 $u$ 和 $v$，它們分別有 $m$ 位和 $n$ 位數字，且 $m\le n$。 當 $m$ 比 $n$ 小很多時，設計一個算法用 $O(nm^{\log(3/2)})$時間求出 $uv$ 的值。說明分析思路，寫出僞代碼，並寫出算法複雜度分析過程。

解：

​ 考慮到$m$比$n$小很多，可以把m位乘n位的問題拆解爲多個m位相乘的問題，然後利用已經得出的m位相乘的優化算法進行計算。

​ 將$v$ 分解爲$n/m$ 段，使得每段爲$m$位，那麼類似大整數乘法的計算方法，這裏計算$uv$就相當於計算$n/m$次$m$位的乘法運算，然後在進行$n/m-1$次加法。利用已經知道的分治法求$m$位乘積複雜度爲$O(m^{log^{3}})$,所以求$uv$的時間複雜度爲$O((n/m)m^{log^{3}}) + O(n/m) = O(nm^{log(3/2)})$.

僞代碼：

/**
 *計算位數爲m,n,且m<n的兩十進制數乘積，使得時間複雜度爲O(nm^log(3/2))
 */

//十進制的同位大整數乘法，且位數爲n.
public static int bigMul(int x,int y,int n){
    if(n == 1){
        return x*y;	
    }
    int k = n/2;
    int b = x % pow(10,n/2);
    int a = x / pow(10,n/2);
    int d = y % pow(10,n/2);
    int c = y / pow(10,n/2);
    return bigMul(a,c,k)*pow(2,2*k)+((a-b)*(d-c)+bigMul(a,c,k)+bigMul(b,d,k))*pow(2,k)+bigMul(b,d,k);
}
public static int main(){
    Scenner(int u,int v,int m,int n);	//輸入u,v,m,n
    int res=0;							//結果
    int divide_V[n/m]; 		//定義存放將v分爲n/m個長爲m的數的數組
    //將v劃分並存入數組
    for i=0 to i=n/m-1:
    	divide_V[i] = v%pow(10,m);
    	v /= pow(10,m);
    //將數組內的數與m使用上面定義的函數分別相乘，再分別乘以對相應段的位數，如2343->23 43,23參與乘法後還要乘10的2次方，最後全部相加
    for i=0 to i=n/m-1:
    	res += bigMul(u,divide_V[i],m) * i*pow(10,m);//第i段的應該補的位數恰爲i*10的m次方
    
    return res;
}

二、 設 $n$ 個不同的整數（可能爲正整數、負整數或者0）排序後存於數組 $T[0:n-1]$中。 設計一個算法，判斷數組中是否存在不動點（若元素 $T[i]$ 等於 $i$, 即 $T[i]=i$，則此元素爲不動點）。說明分析思路，寫出僞代碼，並寫出算法複雜度分析過程。

解：

​ 因爲每個數都是整數，並且數組是升序的，假設其中某個位置的A[i] = i，那麼可以肯定的值，之前的A[x] > x，之後的A[x] < x，那麼這個問題除了判斷相等的條件不同，其他和課上講的二分搜索幾乎一樣，所以可以和二分搜索一樣使用分治法和遞歸進行計算。

​ 因爲每次都是執行二分操作，每次遞歸中間的操作複雜度都爲$O(1)$,所以，總的複雜度的遞歸表達式爲

T(n) = T(n/2) + O(1)

​ 由主方法得時間複雜度爲：$O(logn)$

​

僞代碼:

public static int hasPoint(int start, int end,int T[]){
    int mid = (end - start) / 2 + start;
    if(start > end):
        return false;
    
    if(T[mid] == mid):		
    	return true;
    else if(T[mid]<mid):
    	start = mid+1;			//此時值小於下標，應該在右邊
    	return hasPoint(start,end,T);
    else if(T(mid)>mid)						//此時值大於下標，那麼可能的值就在左邊
    	end = mid-1;
        return hasPoint(start,end T);
    return false;
}