紅黑樹的時間複雜度分析

一、紅黑樹的基本屬性。

1. 紅黑樹的每個結點，要麼是黑色，要麼是紅色，不可能是黃色或其它顏色。
2. 根結點(root)一定是黑色，簡稱爲黑頭。
3. 所有紅色結點不可以直接相鄰。 也即是，如果一個結點爲紅色，那麼，它的爸爸或兒子，一定就是黑色，不可是紅色。符合，綠帽定律。
4. 所有空結點，都是黑色。所謂的空結點，就是當紅黑樹的某一個葉子結點下，沒有其它結點，那麼這個結點，就是空結點，用NIL 或 NULL 表示。
5. 從任意結點出發，到其某個子結點的空結點，所經過的黑結點數量，總是相同的。(維基上的原文：Every path from a given node to any of its descendant NIL nodes contains the same number of black nodes.)

二、基礎概念。

1、空結點，即值爲NIL 或 NULL的結點，
2、親子結點，跟某一根結點，直接相連接的兩個結點，稱作親子結點。
3、h(x)，即樹的高度
4、bh(x) , 全稱是Black Height(x) ，是指結點x所在的位置的黑樹的高度。聽起來，有點抽象，讓我們來看一張圖片。以結點10爲例， x = 10時， BH(x) = BH(10) = 2。這個2是怎麼來的呢？從結點10開始數起（不包含起始結點），到空結點爲止。5是黑色結點，NIL也是黑色結點。所以，BH(10) = 2。同理，我們再舉一個例子，結點9，當 x = 9時，BH(x) = BH(9) = 1(不包含起始結點)，NIL是黑色結點，所以，BH(9) = 1。現在，你應該清楚的瞭解了什麼是BH（即黑樹的高度）。

三、通過歸納法論證紅黑樹的時間複雜度爲Olog(n)。

通過對紅黑樹的大量研究，人們發現這麼一個規律，以結點x爲根結點的子樹，至少包含，2^bh(x)-1個內結點。這個規律是通過，大量的研究，總結出來的。但規律，畢竟只是規律，必須通過證明，才能確定是正確的。Loosely Speaking，我們把這種歸納出來的，需要被證明的規律，稱爲引理。把經過證明的引理，稱爲定理。接下來，讓我們來證明這個引理。在證明的過程，我們依據由簡入繁的思路，步步爲營。

引理：結點x的子樹至少包含2^bh(x)-1個內結點。

證明過程：

1. 首先，我們來證明一種比較簡單的情況，即h(x) = 0 。當結點x包含的子結點爲0時，這個結點一定是空結點NIL。而且，空結點的黑樹高度，也必然爲0（結點本身不計數），即當h(x) =0時，bh(x) = 0也必然成立。因爲上述的描述是必然正確的(不信者，可自代實數以驗之)，所以，如果引理是正確的，引理一定會滿足以上的條件，讓我們將這種情況，代入到引理中：

   當h(x) = bh(x) = 0 時，2^bh(x) - 1 = 2^h(x) - 1 = 2⁰ - 1 = 1 - 1 = 0。綜上所述，當h(x) = bh(x) = 0 時，引理是正確的。

2. 接下來，我們證明h(x) > 0的情況。當h(x) > 0時，意味着結點x一定是個葉子結點，每一個葉子結點，都擁有左右兩棵子樹（或空結點）。 那麼，結點x的左右子樹兩邊的黑高，要麼是bh(x)，要麼是bh(x)-1。這取決於，結點x的親子結點的顏色。如果親子結點是紅色，就是bh(x)-1。如果是黑色，即是bh(x)。因爲如果是親子結點是紅色的，不計入黑高。根據歸納法，每一個子樹，至少包含(2^bh(x)-1 - 1) 個結點。所以，結點x至少包含，左樹結點 + 右樹結點 + x結點本身，個結點。

   綜上所述，我們可以得到如下公式：(2^bh(x)-1 - 1) + (2^bh(x)-1 - 1) + 1 = 2^bh(x) - 1。其中，第一個括號代表左子樹，第二個代表右子樹，最後的+1代表結點x本身。

3. 根據1和2的論證，我們可以知道，某個結點x，至少會包含 2^bh(x) -1 個結點。我們設總結點數爲N，則 N ≥ 2^bh(x)-1。 接下來就是變形的過程：

   已知，N ≥ 2^bh(x)-1
   所以， N + 1 ≥ 2^bh(x)
   所以，log₂(N +1) ≥ bh(x)

4. 根據紅黑樹的第三個屬性，紅色結點不可以直接相鄰。所以，從某一個根結點到其任意一個空結點NIL的任意路徑上(這句話的意思是指h(x)，即樹的高度)，黑色結點的數量(這句指的是bh(x))，至少包含一半及以上。即，bh(x) ≥ h(x)/2。 讓我們把這句，代入論述3裏面的公式，可得：

   log₂(N +1) ≥ bh(x) ≥ h(x)/2，
   兩邊同時，乘以2，得 2log₂(N+1) ≥ h(x)。
   所以，h(x) ≤ 2log₂(N+1)。
   因爲，當N+1趨於無限大時，2log₂(N+1)與lg(N)，只相差一個常數。
   所以，h(x) ≤ 2log₂(N+1)，等價於h(x) ≤ lg(N)，也等價於log(N)。
   也即是，Olog(N)或Olog(n)。

【看不懂爲什麼，log₂(N)==lg(N)==log(N)的，可以查看，博文最底部的注1】

四、總結。

學習紅黑樹的複雜度，需要了解算法、紅黑樹、對數函數、指數函數和數學歸納法的一些基本概念。其中任何知識點的不熟悉，都會對整個論證過程，造成障礙。最後，感謝各位的閱讀，要是還有什麼疑問，可以留言提出。

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【注1】：

這裏爲什麼要，強調或是O(lgn)呢？因爲在算法領域，當log的底數一定時，當n趨於無限大時，兩者的結果都是一個常數，只是兩者存在一個倍數差而已。所以，在研究算法時，這底數是可以忽略掉。打比方說：O(n+100000)，我們會簡單的看成O(n)，一樣的道理。這表達的是一種極限思維。不理解這點的，可以再私聊我詳聊，這裏不再贅述。

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【參考資料】

1、維基百科-紅黑樹。
2、Red-Black Trees。