素數的快速判定

                                           判斷素數的方法

定義：“1不是質數。質數又稱素數。一個大於1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數；否則稱爲合數。所以1不是質數。質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。”約數只有1和本身的整數稱爲質數，或稱素數。

Level 1:我們最先學的簡單粗暴的質數函數判定

就像是這樣：

bool is_prime(int x)
{
    if(x==0 || x==1) return false;//0和1不是素數
    if(x==2) return true;//2是素數
    for(int i=2;i*i<=x;i++)枚舉2~sqrt(i)中的因數
    {
        if(x%i==0) return false;//如果這個數不包括自己和1之外有因數，說明這個數不是素數
    }
    return true;//如果除了1和自己外沒有因數，說明是素數
}

這種方法的時間複雜度很大，一般在OI中不建議使用

1.直觀判斷法：

最直觀的方法，根據定義，因爲質數除了1和本身之外沒有其他約數，所以判斷n是否爲質數，根據定義直接判斷從2到n-1是否存在n的約數即可。java代碼如下：

import java.util.*;

public class Main5 {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		int ok = 0;
		for (int i = 2; i < n; i++) {
			if (n % i == 0) {
				ok = 1;
				break;
			}
		}
		if (ok == 0) {
			System.out.println("素數");
		} else {
			System.out.println("不是素數");
		}
	}
}

2.直觀判斷法改進
上述判斷方法，明顯存在效率極低的問題。對於每個數n，其實並不需要從2判斷到n-1，我們知道，一個數若可以進行因數分解，那麼分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述代碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因爲若sqrt(n)左側找不到約數，那麼右側也一定找不到約數。java代碼如下：
 

import java.math.BigDecimal;
import java.math.BigInteger;
import java.util.*;

public class Main3{
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		int ok=0;
		for (int i = 2; i <=Math.sqrt(n) ; i++) {
			if(n%i==0) {
				ok=1;
				break;
			}
		}	
		if(ok==0) {
			System.out.println("素數");
		}else {
			System.out.println("不是素數");
		}			
				
	}
}

例題：

代碼：

import java.math.BigInteger;
import java.util.*;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		while (sc.hasNext()) {
		    long n  = sc.nextLong();
			int jj = 0;
			long sum = 1l;
				ff:for (int i = 2;; i++) {
					for (int j = 2; j <=Math.sqrt(i); j++) {
						if (i % j == 0) {
							jj++;
						}
					}
					if (jj == 0) {
						sum = (sum*i)%50000;
						n--;
						if(n==0) {
							break ff;
						}
					}
					jj = 0;
				}
           System.out.println(sum);
		}
	}
}

測評結果：

分析：判斷有一個數被除開之後應該立即跳出循環！！break！！

代碼改進：

import java.math.BigInteger;
import java.util.*;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		while (sc.hasNext()) {
		    long n  = sc.nextLong();
			int jj = 0;
			long sum = 1l;
				ff:for (int i = 2;; i++) {
					for (int j = 2; j <=Math.sqrt(i); j++) {
						if (i % j == 0) {
							jj++;
							break;
						}
					}
					if (jj == 0) {
						sum = (sum*i)%50000;
						n--;
						if(n==0) {
							break ff;
						}
					}
					jj = 0;
				}
           System.out.println(sum);
		}
	}
}

測評結果：

 

例題（杭電oj1215）：

 分析及題意：求出所有約數之和，一個數若可以進行因數分解，那麼分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述代碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因爲若sqrt(n)左側找不到約數，那麼右側也一定找不到約數。所以只要找出左面的約數，右面的也就知道了。注意9=3*3

例如20的約數是：

1 2 4  5 10； 遍歷到2 ，右面的等於20/2=10 ，遍歷到4，右面的等於20/4=5。  

代碼實現：

import java.util.Scanner;

public class Main2 {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		while (sc.hasNext()) {
			int n = sc.nextInt();
			while (n-- > 0) {
				int a = sc.nextInt();
				long sum = 0l;
				for (int j = 1; j <= Math.sqrt(a); j++) {
					if (a % j == 0) {
						sum += j;
						if (j * j != a) {
							if (j != 1) {
								sum += a / j;
							}
						}
					}
				}
				System.out.println(sum);
			}

		}
	}
}

                                  總結：

一個數若可以進行因數分解，那麼分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述代碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因爲若sqrt(n)左側找不到約數，那麼右側也一定找不到約數。

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判斷前2到n個數的所有素數，其中最小的數字2是素數。將表中所有2的倍數都劃去。表中剩餘的最小數字是3，它不能被更小的數整除，所以是素數。再將表中所有3的倍數全都劃去。依次類推，如果表中剩餘的最小數字是m時，m就是素數。然後將表中所有m的倍數全部劃去。像這樣反覆操作，就能依次枚舉n以內的素數 

 

Level 2:埃氏篩法

• 基本思想 ：從2開始，將每個質數的倍數都標記成合數，以達到篩選素數的目的。

• 代碼 ：

  int visit[maxn];  
  void Prime(int n)
  {
  memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化都是素數
  visit[0]=visit[1]=1;//0和1不是素數
  for(int i=2;i<=n;i++) {
      if(!visit[i])//如果i是素數，讓i的所有倍數都不是素數
      {        
          for (int j=i;j<=n;j+=i)
          { 
              visit[j] = 1;
          }
      }
  }

但是埃氏篩法有缺陷 ：對於一個合數，有可能被篩多次。例如30=2×15=3×10= 5×6……那麼如何確保每個合數只被篩選一次呢？我們只要用它的最小質因子來篩選即可，這便是歐拉篩法。

Level 3:歐拉篩法

• 基本思想 ：在埃氏篩法的基礎上，讓每個合數只被它的最小質因子篩選一次，以達到不重複的目的。

• 代碼 ：

int prime[maxn];
int visit[maxn];
void Prime(int n){
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!visit[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;//記錄素數，這個prime[0]相當於cnt，用來計數
        }
        for(int j=1;j<=prime[0] && i*prime[j]<=maxn;j++) {
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i%prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}

對於visit[i*prime[j]]=1的解釋：這裏不是用i的倍數來消去合數，而是把 prime裏面紀錄的素數，升序來當做要消去合數的最小素因子。