遊船費問題-動態規劃

問題描述

某旅遊城市在長江邊開闢了若干個旅遊景點。一個遊船俱樂部在這些景點都設置了遊船出租站，遊客可在這些遊船出租站租用遊船，並在下游的任何一個遊船出租站歸還遊船，從一個遊船出租站到下游的遊船出租站間的租金明碼標價的。你的任務是爲遊客計算從起點站到終點站間的最少租船費用。

輸入

輸入有若干組測試數據，每組測試數據的第一行上有一個整數n，(1<=n<=100)，表示上游的起點站0到下游有n個遊船出租站1、2、…、n。接下來有n行，這n行中的第1行有n個整數，分別表示第0站到第1、2、3、…、n站間的遊船租金；第2行有n-1個整數，分別表示第1站到第2、3、4、…、n站間的遊船租金；…；第n-1行有2個整數，表示第n-2站到第n-1、n站間的遊船租金；第n行有1個整數，表示第n-1站到第n站間的遊船租金。一行上兩個整數之間是用空格隔開的。當遊船租金是-1時，表示這兩個站之間無直通航線。兩組測試數據之間無空行。

輸出

對輸入中描述的每組測試數據，先在一行上輸出“Case #:”，其中“#”測試數據的編號（從1開始編）。對輸入文件中的每組測試數據，在輸出文件中輸出一行，內容是該情況下游客從起點站到終點站間的最少租船費用。

輸入樣例

3
2 3 6
1 3
2
3
4 7 9
4 5
6

輸出樣例

Case 1:
5
Case 2:
9

算法思路

用r[i][j]記錄第i站到第j站的直達遊船租金，f[i]記錄從起點第0站到第i站的最少遊船租金。那麼從第0站到第i站有兩種方式到達：

• 直達：r[0][i]
• 中轉：在第k站進行中轉，從第0站到第k站最少租金f[k]，從第k站到第i站直達租金r[k][i]
  則求解的從第0站到第i站的最少租金爲：
  $f(i)=\begin{cases} min_{0<k<i} (f[k]+r[k][i],r[0][i])& i>0 \\ r[0][i ]& i=0 \end{cases}$

代碼實現

public class Main {

    //上游的起點站0到下游有n個遊船出租站
    private static int n;

    // r[i][j]表示從i直達j+1站的租金
    private static int[][] r;

    // f[i]表示從0到i站的最少租金
    private static int[] f;

    public static void main(String[] args) {
        // 讀取鍵盤輸入
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int count = 0;
        while (true) {
            count++;
            n = sc.nextInt();
            r = new int[n][n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = i; j < n; j++) {
                    r[i][j] = sc.nextInt();
                }
            }
            System.out.println("Case " + count + ":\n" + solution() + "\n");
        }
    }

    public static int solution() {
        // f[0]=0,f[n]表示起點到終點
        f = new int[n + 1];
        // 從1到n的最少費用，求n要用到n-1，求n-1...
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 0到i直達
            f[i] = r[0][i - 1];
            for (int k = i - 1; k > 0; k--) {
                // 0到i直達或者經過k中轉
                f[i] = min(f[i], f[k] + r[k][i - 1]);
            }
        }
        return f[n];
    }
}