【視覺算法】廣義霍夫變換(Generalized Hough Transform)

在上一篇文章中，我們學習了經典霍夫變換，用以識別圖像中的可解析圖形；而廣義霍夫變換(Generalized Hough Transform)旨在解決不可解析的不規則圖形的識別問題。
以下，結合Generalized Hough Transform (GHT)(Ballard and Brown, section 4.3.4, Sonka et al., section 5.2.6)這篇文章學習。
首先思考，我們人在一張圖片中尋找指定的物體，需要哪些步驟？
一、先驗信息，也就是我們要事先知道物體長什麼樣(它具有哪些特徵)；
二、在圖片中尋找長的像的物體(尋找相似的特徵)。
事實上，GHT也是按照這個步驟進行的，爲了便於理解，由簡入繁，先看一個特殊(簡單)情形：固定待識別物體的方向和尺寸，即保持與模型(先驗信息的來源)中的一致。

解釋上圖，首先看座標系中的圖形，它是一個不規則圖形；在圖形中尋找任一參考點p(Xc,Yc)，以及邊緣點q(X,Y)；由p向q引一條線段，它的長度爲r，角度爲α(與x軸正方向的夾角)，後面的公式就是由r和α表示p和q之間的關係，很好理解。再看下圖：

這裏的預處理其實就是從模型中學習先驗信息，即將模型中的一些特徵保存下來；說到特徵，就要知道特徵點，這裏的特徵點是圖形的所有邊緣點。
特徵中，除了上面提到的r和α，還有Φ，它是特徵點(邊緣點)p的切線與x軸正方向的夾角；顯然，Φ不受參考點選取的影響，它是圖形的固有屬性；因此選取Φ作爲R-table的索引。
由於圖形是不規則的，一個Φ可能對應多個r和α；先驗信息就是這樣保存在R-table中的。
這裏，再觀察一下這個式子：

觀察這個式子，回想經典霍夫變換中，x,y和參數m,b之間的關係，是不是有些熟悉？
實際上，上式中的Xc,Yc構造了霍夫(廣義的)參數空間，而X,Y是在圖像空間中的。再繼續看：

這裏的檢測，是在新的圖像中，尋找和模型一致的圖形。
量化參數空間，實際上就構造了用以投票的網格；對於每一個特徵點，計算它的Φ，在R-table中以Φ爲索引檢索對應的r和α(上面提到過，可能對應着多個)；對於每一個(α,r)，計算Xc,Yc的值，對應的網格的累加器加一(投票)。
當所有的特徵點都計算完成，尋找參數空間中票數大於閾值的網格，我們就認爲對該網格投過票的那些特徵點爲目標邊緣，即完成了物體的識別。注意，上圖中說的邊緣點定位在Xc,Yc說的是參數空間內。
至此，特殊(簡單)情況就說完了，下面開始討論一般(複雜)情況：即考慮旋轉和縮放。看下圖：

加入了旋轉角度θ和縮放因子s，很基礎；上圖的X’‘是旋轉和縮放後的Xc和X的差值，即參考點p和特徵點q在x軸上(水平)的距離；Y’‘是在y軸上(垂直)的方向距離。X’,Y’是未經過旋轉和縮放的，前面圖中有提到。很好理解，接着看：

這裏量化參數空間，注意到加入了兩個未知參數θ和s，維度已經擴展到四維。
首先，根據特徵點的Φ索引(α,r)，計算未經過旋轉和平移的X’，Y’；然後，以步長爲1遍歷θ和s，對相應的網格進行投票；選取票數大於閾值的網格，即完成了不規則物體的識別(和姿態估計)。
至此，廣義的霍夫變換基本學習完了，下面分析它的優點和缺點(引自原文)：
優點：
1、廣義霍夫變換本質上是一種用於物體識別的方法。
2、它對部分或輕微變形的形狀魯棒性好(即對遮擋下的識別魯棒性好)。
3、對於圖像中存在其他結構(即其他線條，曲線等)干擾，魯棒性好。
4、抗噪聲能力強。
5、一次遍歷即可找到多個同類目標。
缺點：
1、它需要大量的存儲和大量的計算(但是它本質上是可並行化的)。這裏說一下自己的理解：參數空間維度高，有窮舉過程。
下一篇文章學習廣義霍夫變換在三維物體識別中的改進和應用。