Leetcode 面試題 08.11. 硬幣【動態規劃&回溯法（超時）】

問題描述

硬幣。給定數量不限的硬幣，幣值爲25分、10分、5分和1分，編寫代碼計算 n 分有幾種表示法。（結果可能很大，你需要將結果模上1000000007）

解題報告

回溯法[TLE]

這題和 Leetcode 39.組合總數題意相同，只是求解的內容不一樣。
解釋見：Leetcode. 組合總和【回溯法+人爲定義子集順序】

動態規劃

很明顯用 動態規劃 解決這類問題
設 $dp[i]$ 表示硬幣 $i$ 共有多少種表達方式，所以$dp[i]=\sum_{j=0}^{coins.size()}dp[i-coins[j]]$
由此，我們可以很容易的寫出代碼

class Solution {
public:
    int waysToChange(int n) {
        vector<int>dp(n+1,0);
        int coins[4]={1,5,10,25};
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<4;j++){
                if(i>=coins[j]){
                    dp[i]=(dp[i]+dp[i-coins[j]])%1000000007;
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

但其實這個代碼是錯誤的，因爲硬幣可以重複使用，但是相同的幣值是不加以區分的，而這種方法會得到[1,1,5]和[1,5,1]這樣的僞答案。所以我們需要人爲定好構成硬幣 n 的各個子硬幣的大小關係。

分析：
比如 dp[i] 用幣值爲1的硬幣，那麼對應這條路上dp[i-1] 只能用幣值爲1的硬幣，一直進行下去。
如果 dp[i] 用幣值爲 10 的硬幣，那麼對應這條路上 dp[i-10] 只能用幣值爲10、5、1 的硬幣。

解決方式
爲了實現這種效果，我們將各種幣值放在外循環上，則 i =0 時，代表當前所有硬幣 j 的組成都走的是 dp[j-coins[0]] 這條路，而此時，所有其他的硬幣的組成方式中是無法使用其他幣值的【尚未循環到其他幣值】；當 i=1 時，當前當前所有硬幣的組成都走的是 dp[j-coins[1]] 這條路，此時，所有其他小於幣值j的硬幣的組成方式也只用到 coins[0]、coins[1] 這兩種幣值，所以組成硬幣 j 的幣值中不會有超過幣值 coins[1] 的，後面類推。

實現代碼

回溯法

class Solution {
public:
    int waysToChange(int n) {
        vector<int>dp(n+1,0);
        int coins[4]={1,5,10,25};
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<4;j++){
                if(i>=coins[j]){
                    dp[i]=(dp[i]+dp[i-coins[j]])%1000000007;
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};


class Solution {
public:
    int waysToChange(int n) {
        int ans=0;
        vector<int>candidates={1,5,10,25};
        // sort(candidates.begin(), candidates.end());
        vector<int>cur;
        dfs(ans, candidates, n, n,cur);
        return ans;
    }
    void dfs(int &ans, vector<int>& candidates, int target, int left,vector<int>&cur){
        if(left==0) ans=(ans+1)%1000000007;
        else{
            for(int i=0;i<candidates.size();i++){
                if(candidates[i]>left)
                    break;
                else if(cur.size()==0||candidates[i]>=cur.back()){
                    cur.push_back(candidates[i]);
                    dfs(ans, candidates, target, left-candidates[i], cur);
                    cur.pop_back();
                }
            }
        }
    }
};

動態規劃實現

class Solution {
public:
    int waysToChange(int n) {
        vector<int>dp(n+1,0);
        int coins[4]={1,5,10,25};
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<4;i++){
            for(int j=coins[i];j<=n;j++){
                dp[j]=(dp[j]+dp[j-coins[i]])%1000000007;
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

參考資料

[1] Leetcode 面試題 08.11. 硬幣
[2] Leetcode. 組合總和【回溯法+人爲定義子集順序】