[紫書CH10] 例題10-5：GCD等於XOR(數論、找規律、算法優化、UVa12716)

紫書題解彙總：[紫書CH0] 《算法競賽入門經典》(第2版) 題解目錄

1. 題目來源

鏈接：UVA12716 GCD XOR

2. 題目說明

中文描述：

3. 題目解析

方法一：數論+找規律+算法優化

例題10-5　GCD等於XOR（GCD XOR, ACM/ICPC Dhaka 2013, UVa12716）

按照書上的提示，記 $gcd(a,b)=a\oplus b =c$，那麼根據異或的性質來講，由 $a\oplus b =c$ 可得 $a \oplus c =b$，那麼就可以通過枚舉 a 、c 計算得到 b 再驗證是否滿足 $gcd(a,b)=c$，就能夠得到答案了。且由於 c 是 a 的約數，那麼就相同於素數篩算法了，那這個時間複雜度就爲 $\sum_{i=1}^n\frac{n}{i}=O(nlogn)$。gcd 時間複雜度爲 $O(logn)$，則總的時間複雜度爲 $O(n(logn)^2)$。

這個算法仍存在優化點有上述算法打印一些結果滿足 $gcd(a,b)=a\oplus b =c$ 的三元組$(a,b,c)$能夠發現規律爲 $c=a-b$。關於這個規律的證明如下：不難發現 $a-b\leq a \oplus b 且 a-b \geq c$ 若存在 $c$ 使得 $a-b>c$，則 $c <a-b \leq a \oplus b$，與 $c=a \oplus b$ 矛盾。

那麼現在依舊枚舉 $a、c$，計算 $b=a-c$，則 $gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=c$，因此僅驗證 $c= a \oplus b$ 即可，時間複雜度降爲 $O(nlogn)$。

具體就是開闢兩個 MAXN = 30000000; 一個 cnt 用來放置當前 index 爲 a 時構成的滿足要求的整數對。第一層循環遍歷 c 第二層循環遍歷 a 由於滿足 c 一定是 a 的約數，所以 a 初始值可設爲 2c 步長增量也爲 c。若滿足整數對條件，則 ++cnt[a]。循環完畢後，統計整數 n 的整數對數，即需要將前面的 cnt 累加起來即可。

參見代碼如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;
// 3e7 誤寫爲3e8時本地竟然無法通過，不能正常打印,2e8可以，3e8報鏈接錯誤
const int MAXN = 30000000;
int cnt[MAXN + 50], sum[MAXN + 50];

void solve() {
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	for (int c = 1; c <= MAXN; ++c) {
		for (int a = c * 2; a <= MAXN; a += c) {
			int b = a - c;
			if (c == (a ^ b)) ++cnt[a];
		}
	}
	sum[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= MAXN; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + cnt[i];
}

int main() {
	solve();
	int T, n, tmp = 0;
	cin >> T;
	while (T--) {
		scanf("%d", &n);
		printf("Case %d: %d\n", ++tmp, sum[n]);
	}
	return 0;
}