[C++ 系列] 79. 基於4階B樹詳解R-BTree紅黑樹

文章目錄

2. 紅黑樹的構成性質

3. 紅黑樹與4階B樹的關係

0. 前言

在學習紅黑樹前，個人建議先學習下 B 樹，尤其需要了解 4 階 B 樹的添加、刪除，在本博文後續講解中會大量使用，可參考[C++ 系列] 79. 詳解B樹搜索、添加、刪除

1. 紅黑樹的概念

紅黑樹也是一種自平衡二叉搜索樹，以前也叫做平衡二叉 B 樹 ( Stmmertic Binary B-tree )。

紅黑樹，是一種二叉搜索樹，但在每個結點上增加一個存儲位表示結點的顏色，可以是Red或Black。通過對任何一條從根到葉子的路徑上各個結點着色方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆
倍**，因而是接近平衡的。

1.1 疑問：紅黑樹如何保持平衡呢？

紅黑樹沒有 AVL 樹中平衡因子的概念，那麼它是如何保持平衡的呢？

在下面學習完紅黑樹插入、刪除再進行解答。

1.2 常見的紅黑樹

一顆標標準準的紅黑樹結構如下圖所示：

2. 紅黑樹的構成性質

2.1 紅黑樹的5條重要性質

若一顆樹是紅黑樹的話一定要滿足如下 5 條特點：

在這的葉子節點是想象出來的 空節點，即上圖的 null 黑色節點，並不爲上圖的25、74、78、86、90這幾個節點。

2.2 請問下面這棵樹是紅黑樹嗎？

眨眼一看好像滿足紅黑樹的各項性質，所以節點僅有紅、黑兩種顏色，且根節點爲黑，任一路徑上沒有兩個相鄰的紅色節點，並且從根節點到達葉子節點的黑色數量都爲 3，它好像就是一顆紅黑樹？

在這的葉子節點是想象出來的 空節點，即上圖的 null 黑色節點，故能夠發現：55–>38–>null(到達葉子節點) 僅經過了 2 個黑色節點，二其它線路都爲 3 個黑色節點，故其不爲紅黑樹。

網上技術博文大批量的犯這個錯誤…在此特別之處謹記。

3. 紅黑樹與4階B樹的關係

3.1 紅黑樹與4階B樹的等價變換

將下圖左邊的紅黑樹紅色節點上升一層得到右邊的這棵樹？

仔細觀察下，右邊這棵樹不就是顆 B 樹嗎？並且還是個 4 階 B 樹，將其轉換爲更加形象的樣子，見右下圖：

紅黑樹和 4 階 B 樹（2-3-4樹）具有等價性
BLACK 節點與它的 RED 子節點融合在一起，形成1個B樹節點
紅黑樹的 BLACK 節點個數與 4階B樹的節點總個數相等
網上有些教程：用 2-3樹與紅黑樹進行類比，這是極其不嚴謹的，2-3樹並不能完美匹配紅黑樹的所有情況

注意：後面展示的紅黑樹都會省略 NULL 節點

3.2 紅黑樹 VS 2-3-4樹

如果上圖最底層的 BLACK 節點是不存在的，則整顆 B 樹只有 1 個節點，而且是超級節點。

4. 相關英文單詞

17 就是 33 的兄弟節點，共同的父節點爲 25。
17 與 33 的叔父節點就是 46，50 的叔父節點就是 25。
17、33、50 的祖父節點爲 38。

5. 紅黑樹的添加

5.1 添加前準備

現在看到紅黑樹一定要做到心中有4階 B 樹，會很大方便理解，並且下面的講解也是依據 B 樹的轉化進行。

已知：

B樹中，新元素必定是添加到葉子節點中
4 階 B 樹所有節點的元素個數 x 都符合 1 ≤ x ≤ 3
建議新添加的節點默認爲 RED，這樣能夠讓紅黑樹的性質儘快滿足（性質 1、2、3、5 都滿足，性質 4 不一定）
如果添加的是根節點，染成 BLACK 即可

5.2 添加的所有情況

添加新節點只可能加到最後一層的葉子節點上，那麼最後一層的葉子節點有多少種情況呢？

其實上圖已經給出了所有情況：黑、紅黑、黑紅、紅黑紅，由於是 4 階 B 樹，故出現且僅出現這些情況。

那麼在這些葉子節點中進行插入，排除一些不能插入的錯誤情況類似於 25 雖然在 B 樹中爲葉子節點，但在紅黑樹概念中其有左右孩子了，故將其排除掉。同理可排除其他不可插入情況，得到如下的 12 種插入情況：

其中有 4 種情況滿足紅黑樹的性質 4，其父節點 BLACK，同樣也滿足 4 階 B 樹的性質，因此不需要做任何額外處理，見下圖所示：

其中有 8 種情況不滿足紅黑樹的性質 4：parent 爲 RED（Double Red），其中前 4 種屬於 B 樹節點上溢的情況，見下圖所示：

5.3 修復性質4–LL\RR

其它 6 種情況暫且不論，先看看下圖這兩種情況：

即 50–>52、72–>60 違背了性質四。首先站在 B 樹的角度來思考，52、60 加入必然要成爲一個 B 樹節點，那麼回想一下 B 樹節點是怎麼形成的呢？B 樹節點是由一個黑色節點與他的紅色子節點形成的，那麼在此若 52 想成爲 B 樹節點，那麼 50 就需要變成黑色，並且 46 變成紅色，才能合併到一起變爲 B 樹節點。

此時會發現，紅38–>紅46 豈不是兩個紅色相連了？在這的直觀思想是讓紅38–>黑50，不就能解決了嗎？再仔細觀察，這是不是 AVL 樹中的 RR 情況，針對 46 進行左旋轉，讓 50 成爲子樹的根節點，46 成爲子樹的子節點，就萬事大吉了！

同理，將 72 染成黑色成爲 B 樹節點，76 需要染成紅色，並且現在是 LL 情況，僅需對 76 進行右旋轉，讓 72 成爲子樹的根節點，76 成爲 72 的子節點。

轉換效果圖如下圖所示：

◼ 判定條件：uncle 不是 RED

parent 染成 BLACK，grand 染成 RED
grand 進行單旋操作

LL：grand 右旋轉
RR：grand 左旋轉

5.4 修復性質4–LR\RL

上述兩種情況搞定後，再看看下圖這兩種情況：

有了上面的基礎可以知道，46–>50–>48是 RL 情況，76–>72–>74 是 LR 情況。

那麼針對46–>50–>48是 RL 情況，就先讓 50 做右旋轉，再讓 46 做左旋轉，現在 48 上去成爲這顆子樹的根節點，那麼就需要對 48 將其染爲黑色，左右變成紅色。

轉換效果圖如下圖所示：

◼ 判定條件：uncle 不是 RED

自己染成 BLACK，grand 染成 RED
進行雙旋操作

LR：parent 左旋轉， grand 右旋轉
RL：parent 右旋轉， grand 左旋轉

5.5 如何區分其它的四種情況

判斷 uncle 顏色是否爲 RED，如果不爲 RED 就是上面四種情況，如果爲 RED 則爲下述 4 種情況。

下面舉幾個 uncle 的例子，紅黑樹如下圖所示：

10 的 uncle 節點是 33，爲紅色
48、52 的 uncle 節點是 46 的左孩子爲 null，可將 null 視爲黑色，故其 uncle 爲黑色
60、74 的 uncle 節點是 76 的右孩子爲 null，可將 null 視爲黑色，故其 uncle 爲黑色

5.6 修復性質4 – 上溢 – LL

經過上面情況的區分，來看一種新的情況，上溢 – LL，如下圖所示：

首先從 B 樹角度出發，25、17、33、10 明顯產生了上溢情況，因爲 4 階 B 樹最多隻能存 3 個數據，現在產生了上溢。

解決方法就是跳出最中間的向上合併，然後進行分裂即可。在這 17、25 都算是中間的元素，在這就挑 25 作爲中間節點向上合併，因爲其顏色剛好搭配，在這不要思考 25 向上合併後的各種情況，比如 38 作爲 B 樹根節點一定需要變爲黑色，而相鄰節點變爲紅色等系列的問題，先來考慮 17–>10、33 小方面的針對 B 樹情況進行考慮。

17、33 由於 25 的向上合併，都要變爲 B 樹節點，在這就需要將其變爲黑色。

那麼一個小總結就出來了，若是上溢 – LL 情況，即需要將其父節點、叔父節點均變成黑色即可。

最後來考慮祖父節點 25 的向上合併，本來 38、55 這個位置只有兩個節點，現在 25 向上合併，就相當於對 38、55 進行新添加節點 25 的操作，那麼就是依然是插入的 12 種情況，將其變成紅色配對情況即可，這是一個遞歸的操作！效果如下圖所示：

但若祖父節點 25 持續上溢到根節點的話，並且此時根節點也觸發了上溢的條件的話，即下圖的情況。此時又需要找中間的元素，在下圖中就是 38、55 這兩個情況，只需要將根節點轉成黑色即可。

這個上溢的 LL 情況，只需要進行染色即可，根本沒進行旋轉的操作。

◼ 判定條件：uncle 是 RED

parent、uncle 染成 BLACK
grand 向上合併，並染成 RED，當做是新添加的節點進行處理
grand 向上合併時，可能繼續發生上溢，若上溢持續到根節點，只需將根節點染成 BLACK 即可。

5.7 修復性質4 – 上溢 – RR

順理成章的又出來了一種新的情況，上溢 – RR，如下圖所示：

有了上面 5.6 的經驗，現在的操作就簡單很多了。將 36 的祖父節點 25 拿出來染成紅色，當做一個新的節點，實行插入操作的向上合併。將 17、33 的父節點、叔父節點染成黑色，此時 17、33 就獨立成了一個 B 樹節點，其它的都與之前的邏輯一致了。直接看效果圖如下：

◼ 判定條件：uncle 是 RED

parent、uncle 染成 BLACK
grand 向上合併，並染成 RED，當做是新添加的節點進行處理，可能繼續發生上溢，若上溢持續到根節點，只需將根節點染成 BLACK 即可。

5.8 修復性質4 – 上溢 – LR

倒數第二種情況了，上溢 – LR，如下圖所示

此時 20、17、25、33 依然發生上溢，同理祖父節點 25 需要進行向上合併，叔父節點染成黑色即可。效果圖如下：

◼ 判定條件：uncle 是 RED

parent、uncle 染成 BLACK
grand 向上合併，並染成 RED，當做是新添加的節點進行處理，可能繼續發生上溢，若上溢持續到根節點，只需將根節點染成 BLACK 即可。

5.9 修復性質4 – 上溢 – RL

最後一種情況，上溢 – RL，如下圖所示：

現在的話道理都是一樣的了，直接效果圖如下：

◼ 判定條件：uncle 是 RED

parent、uncle 染成 BLACK
grand 向上合併，並染成 RED，當做是新添加的節點進行處理，可能繼續發生上溢，若上溢持續到根節點，只需將根節點染成 BLACK 即可。

6. 紅黑樹添加元素總結

站在 4 階 B 樹的角度上看，紅黑樹添加共有 12 種情況，其中 4 種情況符合紅黑樹定義，不需要進行修復調整，而其餘八中情況可分爲如下三大情況：

若插入節點位置 uncle 不爲 RED 的 LL\RR 情況的話，僅需要 parent 染成 BLACK，grand 染成 RED 並將grand 進行對應的單旋操作即可
LL：grand 右旋轉
RR：grand 左旋轉
自己染成 BLACK，grand 染成 RED 進行雙旋操作即可
LR：parent 左旋轉， grand 右旋轉
RL：parent 右旋轉， grand 左旋轉
若插入節點位置 uncle 爲 RED 情況的話，就爲上溢的情況，不需要進行旋轉，僅染色和向上合併即可。具體爲 parent、uncle 染成 BLACK，grand 向上合併，並染成 RED，當做是新添加的節點進行處理，可能繼續發生上溢，若上溢持續到根節點，只需將根節點染成 BLACK 即可。

7. 紅黑樹的刪除

同樣對比 4 階 B 樹我們知道，在 B 樹中真正從內存中被刪除的節點元素都在葉子節點中。那麼就有下面幾種情況。

7.1 刪除 – RED節點

紅黑樹結構圖如下：

假如刪除紅色 17、33、50、72 刪除一個或多個的話，對紅黑樹沒有影響，它依然是一顆紅黑樹，並且是一顆 4 階 B 樹。

7.2 刪除 – BLACK節點

紅黑樹結構圖如下：

有 3 種情況：

擁有 2 個 RED 子節點的 BLACK 節點，在此即 25 節點。25 節點的度爲 2，而在二叉搜索樹當中，一定是不可能刪除一個度爲 2 的節點的，同時一定會找到它的前驅 / 後繼進行刪除。不可能被直接刪除，因爲會找它的子節點替代刪除。因此不用考慮這種情況
擁有 1 個 RED 子節點的 BLACK 節點，在此即 46、76 節點
BLACK 葉子節點，在此即 88 節點

因爲情況 1 不必考慮，那麼刪除情況就僅有擁有1個RED子節點的BLACK節點、BLACK 葉子節點這兩種情況了。

7.3 刪除 – 擁有1個RED子節點的BLACK節點

紅黑樹結構如下圖：

加入現在要刪除 46 、76 的情況，那怎麼判定是這種情況呢？仔細觀察可發現，它是度爲 1 的節點，在二叉搜索樹中，就需要找到他的子節點進行刪除即可，即將 46 刪除並將 55–>50，將 76 刪除並將 80–>72，即效果圖如下：

即爲：

這樣刪除明顯不符合紅黑樹的性質啊，如果從 B 樹角度出發，將 46、76 進行直接刪除，那麼 50、72 獨立成爲 B 樹節點，那麼 B 樹節點一定是黑色的。

◼ 判定條件：用以替代的子節點是 RED

將替代的子節點染成 BLACK 即可保持紅黑樹性質

7.4 刪除 – BLACK葉子節點 – sibling(兄弟節點)爲BLACK，且有 RED 子節點

紅黑樹結構圖如下：

在這中情況下就是刪除 46、88 節點，在 BST 樹角度上，就是直接被刪除，但在 4 階 B 樹中就發生了下溢，因爲 4 階 B 樹保證節點的數據最少要有 1 個，最多爲 3 個。在這進行了 88 的刪除的話，自然發生下溢情況。

在 B 樹中處理下溢情況的方法就是，看看兄弟節點是否能借出一個節點，在這裏先考慮能借出節點的三種情況如下圖：

通過觀察能夠發現這三種情況下，它的兄弟節點都有一個紅色孩子節點，這樣兄弟節點就至少有兩個節點了，才能借出一個節點。並且兄弟節點的顏色一定是黑色，如果它的兄弟節點爲紅色的話，那麼這個兄弟節點一定是在父節點裏面的。我們能夠知道如果父節點爲紅色，那麼兄弟節點就不能再爲紅色，即爲黑色，如果父節點爲黑色，根據紅黑樹與 4 階 B 樹等價原則，父節點與他的所有子節點構成一個 B 樹節點，那麼在 B 樹中這個紅色兄弟節點是在父節點上的。

就如下如圖所示，55 作爲父節點怎麼可能把節點借出來呢？我們需要借的是左右臨近的紅色節點。

現在見上圖，如果刪掉 88，76 兄弟給借紅色子節點 78 來處理下溢問題，那麼就是 80 作爲父節點下去到 88 的位置，在兄弟裏面挑一個，儘量挑個居中的作爲父節點，即 78 上去作爲新的父節點
並且還能夠發現上圖這個情況其實是從 80–>76–>78 d的 LR 情況，首先對 76 進行左旋轉，那麼 78 就上去了，再對 78 做右旋轉那麼 78 就上去了，80 就下去了，下溢情況調整完畢。

通過旋轉之後新的父節點要繼承原有父節點的顏色，並且它的左右節點需要變成獨立的 B 樹節點，那麼就需要將其左右節點全部染成黑色。因爲 80 旋轉下去就它一個，肯定爲獨立的 B 樹節點，76 作爲它的兄弟節點也一定爲黑色並且也是獨立的 B 樹節點。

到現在，刪除 – BLACK葉子節點 – sibling(兄弟節點)爲BLACK 的情況這樣纔算調整完畢，接下來再看幾個例子加深理解：

刪除 88 節點，現在就是很明顯的從 80–>76–>72 的 LL 情況，直接對 80 節點進行右旋轉即可。並且旋轉過後，76 繼承 80 的顏色，並將 76 的左右節點染成黑色。效果圖如下：

再來個例子：

刪除 88 節點，現在就是很明顯的從 80–>76–>72 的 LL 情況，從 80–>76–>78 的 LR 情況，在這就選擇 LL 對直接對 80 節點進行右旋轉即可，因爲這樣只需要旋轉一次，而 LR 卻要進行兩次旋轉。並且旋轉過後，76 繼承 80 的顏色，並將 76 的左右節點染成黑色。效果圖如下：

如果按照 LR 來進行兩步旋轉的話，結構和上面的又不太一致，因爲一開始對 76 進行左旋轉，78 上去，再對 78 進行右旋轉，78 作爲新的父節點，80 下去解決下溢問題，再將 78 染成原來的父節點顏色，左右染成黑色即可，效果圖如下：

所以紅黑樹的刪除，刪完之後可能出現多種樹的結構，可能都是滿足情況的正確答案。

◼ 判定條件：BLACK 葉子節點被刪除後，會導致B樹節點下溢（比如刪除88），此時如果 sibling 至少有 1 個 RED 子節點

進行旋轉操作
旋轉之後的中心節點繼承 parent 的顏色
旋轉之後的左右節點染爲 BLACK

7.5 刪除 – BLACK葉子節點 – sibling(兄弟節點)爲BLACK，沒有 RED 子節點

紅黑樹效果圖如下：

依舊刪除 88，此時它的兄弟節點沒有紅色子節點，發生了下溢的情況，那麼就需要用到 B 樹的合併方式來處理下溢的情況了。合併是從父節點 80 下來和 76 合併到一起，那麼父節點下來與它的子節點融合到一起成爲 B 樹節點，此時就需要對父節點染成黑色，將兄弟節點染成紅色即可。效果圖如下：

如果父節點是黑色的情況呢？如果父節點下來，B 樹節點必然產生下溢情況。那麼要是父節點旁邊出現紅色節點呢？是不是就不會產生下溢情況了？

答案是不可能再出現紅色節點的，因爲刪除節點爲黑色葉子節點，並且它的兄弟節點仍是黑色節點，此時父節點的 left、right 都已經有所指了，自然不會存在再指向一個紅色節點的情況。如下圖：

其實這個情況處理很簡單，只需要將父節點當做被刪除的節點即可，也是一個遞歸的調用。很類似於處理上溢問題的遞歸調用。

◼ 判定條件：sibling 沒有 1 個 RED 子節點

將 sibling 染成 RED、parent 染成 BLACK 即可修復紅黑樹性質
如果 parent 是 BLACK，會導致 parent 也下溢，這時只需要把 parent 當做被刪除的節點處理即可

7.6 刪除 – BLACK葉子節點 – sibling(兄弟節點)爲RED

在此黑色的葉子節點的兩種情況已經講完了，下面來看最後一種情況，紅黑樹結構圖如下：

依舊刪除 88，在 B 樹中就產生了下溢的情況，還得看 76 能不能借節點，如果能借就借一個節點，如果不能借就讓父節點下來合併解決下溢問題。但是在這就比較麻煩，現在 88 的兄弟是 55 ，55 的兒子纔是 76，就多跨了一層關係，現在爲了解決這個問題，我們強制讓 76 做 88 的兄弟，那麼就又回到了黑兄弟的情況了。

那麼思想就很簡單了，就是單純的讓 80 指向 76 就好了。見上圖可知道可以通過 LL 情況實現，讓 80 進行右旋轉，此時 55 上去成爲新的父節點，80 指向 55 的右孩子 76 節點，而 55 的右邊指向 80 。再將刪除節點的兄弟節點即 55 節點染成黑色，父節點染成紅色即可，效果圖如下：

於是又回到了兄弟節點爲黑色的情況，即 7.5 的情況。如果將 88 刪掉，產生下溢，父節點向下合併，成爲 B 樹節點，即將 80 染黑，76 染紅即可，效果圖如下：

再來舉一個例子：

依舊刪除 88 節點，需要讓 80 的左邊指向 76，並將父節點染成紅色，兄弟節點染成黑色：

回到兄弟節點爲黑色的情況了，按照 80–>76–>78 進行 LR 兩步旋轉的話，一開始對 76 進行左旋轉，78 上去，再對 78 進行右旋轉，78 作爲新的父節點，80 下去解決下溢問題，再將 78 染成原來的父節點顏色，左右染成黑色即可，效果圖如下：

◼ 判定條件：sibling 是 RED

sibling 染成 BLACK，parent 染成 RED，進行旋轉
於是又回到 sibling 是 BLACK 的情況

8. 紅黑樹刪除元素總結

與 BST 樹一致真正刪除的節點肯定是刪除的葉子節點，那麼以待刪除節點的顏色來考慮，若爲紅色，則直接刪除即可，不需要作任何調整，若爲黑色，則分以下三種情況：

擁有 2 個 RED 子節點的 BLACK 節點，不可能被直接刪除，因爲會找它的子節點替代刪除。因此不用考慮這種情況
擁有 1 個 RED 子節點的 BLACK 節點
BLACK 葉子節點

於是就只有情況2、3 需要我們來討論，即有：

刪除 – 擁有 1 個 RED 子節點的 BLACK 節點

判定條件：用以替代的子節點是 RED
解決方式：將替代的子節點染成 BLACK 即可保持紅黑樹性質

刪除 – BLACK 葉子節點 – sibling爲 BLACK

判定條件：BLACK 葉子節點被刪除後，會導致B樹節點下溢（比如刪除88），並且如果 sibling 至少有 1 個 RED 子節點
解決方式：進行旋轉操作，旋轉之後的中心節點繼承 parent 的顏色，旋轉之後的左右節點染爲 BLACK

刪除 – BLACK 葉子節點 – sibling爲 BLACK

判定條件：sibling 沒有 1 個 RED 子節點
解決方式：將 sibling 染成 RED、parent 染成 BLACK 即可修復紅黑樹性質，處理後如果 parent 是 BLACK會導致 parent 也下溢，這時只需要把 parent 當做被刪除的節點調用遞歸的刪除即可

刪除 – BLACK葉子節點 – sibling爲RED

判定條件：sibling 是 RED
解決方式：將 sibling 染成 BLACK，parent 染成 RED 進行旋轉，於是又回到 sibling 是 BLACK 的情況

9. 答疑：紅黑樹的平衡

最初遺留的困惑：爲何那5條性質，就能保證紅黑樹是平衡的？
回答：那5條性質，可以保證紅黑樹等價於 4階B樹，在這就不證明了，有興趣coder可自行證明，或者查閱相關資料

相比AVL樹，紅黑樹的平衡標準比較寬鬆：沒有一條路徑會大於其他路徑的2倍，因爲要保證每條路徑下黑色節點個數一致，那麼最短路徑就是全黑節點，最長路徑就是一個黑緊接着一個紅，這樣最長路徑的節點個數也就只能不超過最短路徑的節點個數了
是一種弱平衡、黑高度平衡
紅黑樹的最大高度是 $2 ∗log(N+1)$ ，依然是 $O(logN)$ 級別

10. 平均時間複雜度

◼ 搜索： $O(logN)$

◼ 添加： $O(logN)$ ， $O(1)$ 次的旋轉操作

◼ 刪除： $O(log N)$ ， $O(1)$ 次的旋轉操作

11. AVL樹 vs 紅黑樹

AVL樹：

平衡標準比較嚴格：每個左右子樹的高度差不超過1
最大高度是 $1.44 ∗ log_2 N + 2 − 1.328$ （100W個節點，AVL 樹最大樹高28）
搜索、添加、刪除都是 $O(log_2N)$ 複雜度，其中添加僅需 $O(1)$ 次旋轉調整、刪除最多需要 $O(log_2N)$ 次旋轉調整

紅黑樹：

平衡標準比較寬鬆：沒有一條路徑會大於其他路徑的2倍
最大高度是 $2 ∗ log_2(n + 1)$ （ 100W個節點，紅黑樹最大樹高40）
搜索、添加、刪除都是 $O(log_2 N )$ 複雜度，其中添加、刪除都僅需 $O(1)$ 次旋轉調整
搜索的次數遠遠大於插入和刪除，選擇 AVL 樹；搜索、插入、刪除次數幾乎差不多，選擇紅黑樹
相對於 AVL樹來說，紅黑樹犧牲了部分平衡性以換取插入/刪除操作時少量的旋轉操作，整體來說性能要優於 AVL 樹
紅黑樹的平均統計性能優於 AVL 樹，實際應用中更多選擇使用紅黑樹