數據結構(三)樹之樹與樹的表示

  由於在客觀世界中許多事物存在層次關係，比如人類社會家譜，社會組織結構，圖書信息管理等，因此研究樹這種表示層級關係的結構就顯得很有必要。能夠使其分層次組織，在管理上具有更高效的效率。

查找

  所謂的查找就是根據某個給定關鍵字K，從集合R中找出關鍵字與K相同的記錄。查找可以分爲靜態查找和動態查找：

• 靜態查找：集合中記錄是固定的。沒有插入和刪除操作，只有查找。

• 動態查找：集合中記錄是動態變化的除查找，還可能發生插入和刪除。

靜態查找

  靜態查找又可以分爲順序查找和二分查找。

• 順序查找：

int SequentialSearch (StaticTable *Tb1, ElementType K)
{ /*在表Tbl [1]~Tbl [n]中查找關鍵字爲K的數據元素*/
	int i;
	Tbl->Element[0] = K; /*建 立哨兵*/
	for(i = Tbl->Length; Tbl->E1ement[i] != K; i--) ;
	return i; /*查找成功返回所在單元下標;不成功返回0*/
}

  順序查找算法的時間複雜度爲$O(n)$。

• 二分查找（Binary Search)：

  二分查找有一個前提假設，即假設$n$個數據元素的關鍵字滿足有序（比如：小到大）

$\mathrm{k}_{1}<\mathrm{k}_{2}<\cdots<\mathrm{k}_{\mathrm{n}}$

  並且是連續存放（數組），那麼可以進行二分查找。

  舉個例子：

  假設有13個數據元素，按關鍵字由小到大順序存放.二分查找關健字爲444的數據元素過程如下：

1. 依據left=1和right=13可以算出mid = (1+13)/2 = 7，而7中的元素爲100，其值小於444，因此選中右邊半段。
2. 則left = mid+1=8, 而right = 13不變; 計算中間值mid = (8+13)/2 = 10: 其值321小於444，再次選中右邊半段。
3. 得到left = mid+1=11, right = 13; mid = (11+13)/2 = 12: 查找結束;

  而如果所查找的元素不在數組裏面會發生什麼情況呢？如果不在數組裏面的話，那麼就會出現left > right的情況。

int BinarySearch ( StaticTable * Tbl, ElementType K)
{ /*在表Tbl中查找關鍵字爲K的數據元素*/
	int left, right, mid, NoFound=-1;
	left= 1; /*初始左邊界*/
	right = Tbl->Length; /*初始右邊界*/
	while ( left <= right )
	{
	mid = (left+right)/2; 1/*計算 中間元素座標*/
	if( K < Tbl->Element[mid]) right = mid-1; /*調整右邊界*/
	else if( K > Tbl->Element[mid]) left = mid+1; /*調 整左邊界*/
	else return mid; /*查找成功，返回數據元素的下標*/
	}
	return NotFound; /*查找不成功，返回-1*/
}

  二分查找的算法具有對數的時間複雜度$O(log_{2}N)$。

動態查找

而如果把上述過程放到一顆樹裏面，將其稱之爲判定樹，可表示爲如下形式：

  判定樹上每個結點需要的查找次數剛好爲該結點所在的層數；查找成功時查找次數不會超過判定樹的深度。$n$個節點的判定樹的深度爲$log_{2}^{n}+1$。

  平均成功查找次數ASL= (4 x 4+4x3+2x2+1)/11 = 3。(節點的深度稱上總節點數，除以節點個數)。在這種情況下是很容易對樹進行刪增等操作。

樹

樹的定義

  樹(Tree) ：由$n \geq 0$個結點構成的有限集合。當$n=0$時，稱爲空樹；對於任一棵非空樹（$n> 0$），它具備以下性質：

• 樹中有一個稱爲“根(Root)”的特殊結點，用 $r$ 表示；
• 其餘結點可分爲$m(m>0)$個互不相交的有限集$T_{1}，T_{2}，\cdots，T_{m}$，其中每個集合本身又是一棵樹，稱爲原來樹的“子樹(SubTree)”。

  這裏要注意以下三點：

1. 子樹是不相交的；
2. 除了根結點外，每個結點有且僅有一個父結點；
3. 一棵$N$個結點的樹有$N-1$條邊。

  樹的一些基本術語

1. 結點的度(Degree) ：結點的子樹個數。
2. 樹的度：樹的所有結點中最大的度數
3. 葉結點(Leaf) ：度爲0的結點
4. 父結點(Parent) ：有子樹的結點是其子樹的根結點的父結點
5. 子結點(Child) ：若$A$結點是$B$結點的父結點，則稱$B$結點是$A$結點的子結點；子結點也稱孩子結點。
6. 兄弟結點(Sibling) ：具有同一父結點的各結點彼此是兄弟結點。
7. 路徑和路徑長度：從結點$n$，到$n$的路徑爲一個結點序列$n_{1}$，$n_{2}$ $\cdots$ ，$n_{k}$，$n_{i}$是$n_{i+1}$的父結點。路徑所包含邊的個數爲路徑的長度。
8. 祖先結點(Ancestor)：沿樹根到某一結點路徑上的所有結點都是這個結點的祖先結點。
9. 子孫結點(Descendant)：某一結點的子樹中的所有結點是這個結點的子孫。
10. 結點的層次(Level) ：規定根結點在1層，其它任一結點的層數是其父結點的層數加1。
11. 樹的深度(Depth) ：樹中所有結點中的最大層次是這棵樹的深度。

樹的表示

  通常樹的表示如下圖所示：

  也可採用兒子-兄弟表示法：

  將其旋轉45度後就變成了二叉樹：