數據結構(三)二叉樹及存儲結構

定義

  二叉樹$T$：一個有窮的結點集合。這個集合可以爲空，若不爲空，則它是由根結點和稱爲其左子樹$T_{L}$和右子樹$T_{R}$的兩個不相交的二叉樹組成。

  有五種基本的形式：

1. 空樹。
2. 只有一個節點。
3. 有一個節點，只有左子樹，右子樹爲空。
4. 有一個節點，左子樹爲空，右子樹不爲空。
5. 左右子樹都不爲空。

  具體如下圖所示：

  這裏需要注意的是：二叉樹與度爲2的樹的區別在於二叉樹有左右之分。

特殊二叉樹

  有三種特殊的二叉樹，斜二叉樹、完美二叉樹、完全二叉樹：

• 斜二叉樹(Skewed Binary Tree)

• 完美二叉樹(Perfect Binary Tree)

  完美二叉樹(Perfect Binary Tree)也稱作滿二叉樹(Full Binary Tree）

• 完全二叉樹(Complete Binary Tree)

  有$n$個結點的二叉樹，對樹中結點按從上至下、從左到右順序進行編號，編號爲$i（1 ≤ i ≤ n）$結點與滿二叉樹中編號爲 $i$ 結點在二叉樹中位置相同。

二叉樹的重要性質

1. 一個二叉樹第 $i$ 層的最大結點數爲：$2^{i-1}$，$i \geq 1$。
2. 深度爲 $k$ 的二叉樹有最大結點總數爲：$2^{k}-1$，$k \geq 1$。

  對任何非空二叉樹 $T$，若$n_{0}$表示葉節點的個數、$n_{2}$是度爲2的非葉節點個數，那麼兩者滿足關係$n_{0}=n_{2}+1$。

  如上圖所示，$n_{0}=4$，$n_{1}=2$，$n_{2}=3$，滿足$n_{0}=n_{2}+1$。

抽象數據類型

  類型名稱：二叉樹

  數據對象集：一個有窮的結點集合。若不爲空，則由根結點和其左、右二叉子樹組成。

  操作集：

  BT $\in$ BinTree, Item $\in$ ElementType，重要操作有：

1. Boolean IsEmpty( BinTree BT)：判別BT是否爲空;
2. void Traversal( BinTree BT)：遍歷，按某順序訪問每個結點;
3. BinTree CreatBinTree()：創建-一個二叉樹。

  常用的遍歷方法有:

• void PreOrderTraversal( BinTree BT)：先序—根、左子樹、右子樹；
• void InOrderTraversal( BinTree BT )：中序–左子樹、根、右子樹；
• void PostOrderTraversal( BinTree BT)：後序—左子樹、 右子樹、根；
• void LevelOrderTraversal( BinTree BT)：層次遍歷，從上到下、從左到右；

二叉樹的存儲結構

1. 順序存儲結構

  對於完全二叉樹，一般按照按從上至下、從左到右順序存儲 $n$ 個結點的完全二叉樹的結點父子關係；

  可以採用數組的形式對其進行存儲：

• 對於非根結點(序號 $i > 1$)的父結點的序號是 $i/2$；
• 結點(序號爲 $i$ )的左孩子結點的序號是 $2i$， (若$2i \leq n$，否則沒有左孩子)；
• 結點(序號爲 $i$ )的右孩子結點的序號是 $2i+1$， （若$2 i +1 \leq n$，否則沒有右孩子）;

  對於一般的二叉樹也可以採用這種結構，但是會造成空間浪費，如下圖所示的補全方法：

2. 鏈表存儲

  用鏈表存儲的話可採用如下結構體：

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
	ElementType Data;
	BinTree Left;
	BinTree Right;
}