這一小節主要是圍繞樹的一些典型應用展開。
什麼是二叉搜索樹
二叉樹中一個很重要的問題就是查找問題，可以分爲兩類：靜態查找與動態查找。二叉搜索樹（BST，Binary Search Tree），也稱二叉排序樹或二叉查找樹。
二叉搜索樹：一棵二叉樹，可以爲空；如果不爲空，滿足以下性質：
- 非空左子樹的所有鍵值小於其根結點的鍵值。
- 非空右子樹的所有鍵值大於其根結點的鍵值。
- 左、右子樹都是二叉搜索樹。
二叉搜索樹操作的特別函數
Position Find( ElementType X, BinTree BST )：從二叉搜索樹BST中查找元素X，返回其所在結點的地址；Position FindMin( BinTree BST )：從二叉搜索樹BST中查找並返回最小元素所在結點的地址；Position FindMax( BinTree BST )：從二叉搜索樹BST中查找並返回最大元素所在結點的地址。
BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST )
BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST )
二叉搜索樹的查找操作：Find
查找從根結點開始，如果樹爲空，返回NULL。若搜索樹非空，則根結點關鍵字和X進行比較，並進行不同處理：
- 若X小於根結點鍵值，只需在左子樹中繼續搜索；
- 如果X大於根結點的鍵值，在右子樹中進行繼續搜索；
- 若兩者比較結果是相等，搜索完成，返回指向此結點的指針。
Position Find( ElementType X, BinTree BST )
{
if( !BST ) return NULL;
if( X > BST->Data )
return Find(X, BST->Right ) ; /*在右子樹中繼續查找*/
Else if( X < BST->Data )
return Find( x, BST->Ieft ) ; /*在左子樹中繼續查找*/
else /* X == BST->Data */
return BST; /*查找成功，返回結點的找到結點的地址*/
}
上述代碼是尾遞歸形式，由於非遞歸函數的執行效率高，可將“尾遞歸”函數改爲迭代函數
Position IterFind( ElementType X, BinTree BST )
{
while( BST ) {
if( X > BST->Data )
BST = BST->Right; /*向右子樹中移動，繼續查找*/
else if( X < BST->Data )
BST = BST->Left; /*向左子樹中移動， 繼續查找*/
else /* X == BST->Data */
return BST; /*查找成功，返回結點的找到結點的地址*/
}
return NULL; /*查找失敗*/
}
查找的效率決定於樹的高度。
查找最大和最小元素
最大元素一定是在樹的最右分枝的端結點上，最小元素一定是在樹的最左分枝的端結點上。
查找最小元素的遞歸函數：
Position FindMin ( BinTree BST )
{
if( !BST ) return NULL; /*空的二叉搜索樹， 返回NULL*/
else if ( !BST-> Left )
return BST; / *找到最左葉結點並返回*/
else
return FindMin( BST->Ieft ) ; /*沿左分支繼續查找*/
}
查找最大元素的迭代函數：
Position FindMax ( BinTree BST )
if (BST )
while ( BST->Right ) BST = BST->Right;
/*沿右分支繼續查找， 直到最右葉結點*/
return BST ;
}
二叉搜索樹的插入
關鍵是要找到元素應該插入的位置，可以採用與Find類似的方法：
二叉搜索樹的插入算法：
BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST )
if( !BST ) {
/*若原樹爲空， 生成並返回一個結點的二叉搜索樹*/
BST = malloc(sizeof (struct TreeNode) ) ;
BST->Data = X;
BST->Left = BST->Right = NULL;
}else /*開始找要插入元素的位置*/
if( X < BST->Data )
BST->Left = Insert( X，BST->Left) ; /*遞歸插入左子樹*/
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Insert( X，BST->Right) ; /*遞歸插入右子樹*/
/* else x已經存在，什麼都不做*/
return BST;
}
二叉搜索樹的刪除
考慮三種情況：
要刪除的是葉結點：直接刪除，並再修改其父結點指針—置爲NULL：
要刪除的結點只有一個孩子結點：
將其父結點的指針指向要刪除結點的孩子結點：
要刪除的結點有左、右兩棵子樹：
用另一結點替代被刪除結點：右子樹的最小元素 或者 左子樹的最大元素
BinTree Delete ( E1ementType X，BinTree BST )
{ Position Tmp ;
if( !BST ) printf ("要刪除的元素未找到") ;
else if( X < BST->Data )
BST->Left = Delete( x, BST->Left) ; /* 左子樹遞歸刪除*/
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Delete( x, BST->Right) ; /*右子樹遞歸刪除*/
else /*找到要刪除的結點*/
if( BST->Left && BST->Right ) { /*被刪除結點有左右兩個子結點*/
Tmp = FindMin( BST->Right ) ;
/*在右子樹中找最小的元素填充刪除結點*/
BST->Data = Tmp->Data;
BST->Right = Delete( BST->Data， BST->Right) ; /*在刪除結點的右子樹中刪除最小元素*/
} else { /*被刪除結點有一個或無子結點*/
Tmp = BST;
if( !BST->Left ) /*有右孩子或無子結點*/
BST = BST->Right;
else if( !BST->Right ) /*有左孩子或無子結點*/
BST = BST- > Left;
free( Tmp ) ;
return BST;
}