数据结构(三)树之树与树的表示

  由于在客观世界中许多事物存在层次关系，比如人类社会家谱，社会组织结构，图书信息管理等，因此研究树这种表示层级关系的结构就显得很有必要。能够使其分层次组织，在管理上具有更高效的效率。

查找

  所谓的查找就是根据某个给定关键字K，从集合R中找出关键字与K相同的记录。查找可以分为静态查找和动态查找：

• 静态查找：集合中记录是固定的。没有插入和删除操作，只有查找。

• 动态查找：集合中记录是动态变化的除查找，还可能发生插入和删除。

静态查找

  静态查找又可以分为顺序查找和二分查找。

• 顺序查找：

int SequentialSearch (StaticTable *Tb1, ElementType K)
{ /*在表Tbl [1]~Tbl [n]中查找关键字为K的数据元素*/
	int i;
	Tbl->Element[0] = K; /*建 立哨兵*/
	for(i = Tbl->Length; Tbl->E1ement[i] != K; i--) ;
	return i; /*查找成功返回所在单元下标;不成功返回0*/
}

  顺序查找算法的时间复杂度为$O(n)$。

• 二分查找（Binary Search)：

  二分查找有一个前提假设，即假设$n$个数据元素的关键字满足有序（比如：小到大）

$\mathrm{k}_{1}<\mathrm{k}_{2}<\cdots<\mathrm{k}_{\mathrm{n}}$

  并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找。

  举个例子：

  假设有13个数据元素，按关键字由小到大顺序存放.二分查找关健字为444的数据元素过程如下：

1. 依据left=1和right=13可以算出mid = (1+13)/2 = 7，而7中的元素为100，其值小于444，因此选中右边半段。
2. 则left = mid+1=8, 而right = 13不变; 计算中间值mid = (8+13)/2 = 10: 其值321小于444，再次选中右边半段。
3. 得到left = mid+1=11, right = 13; mid = (11+13)/2 = 12: 查找结束;

  而如果所查找的元素不在数组里面会发生什么情况呢？如果不在数组里面的话，那么就会出现left > right的情况。

int BinarySearch ( StaticTable * Tbl, ElementType K)
{ /*在表Tbl中查找关键字为K的数据元素*/
	int left, right, mid, NoFound=-1;
	left= 1; /*初始左边界*/
	right = Tbl->Length; /*初始右边界*/
	while ( left <= right )
	{
	mid = (left+right)/2; 1/*计算 中间元素座标*/
	if( K < Tbl->Element[mid]) right = mid-1; /*调整右边界*/
	else if( K > Tbl->Element[mid]) left = mid+1; /*调 整左边界*/
	else return mid; /*查找成功，返回数据元素的下标*/
	}
	return NotFound; /*查找不成功，返回-1*/
}

  二分查找的算法具有对数的时间复杂度$O(log_{2}N)$。

动态查找

而如果把上述过程放到一颗树里面，将其称之为判定树，可表示为如下形式：

  判定树上每个结点需要的查找次数刚好为该结点所在的层数；查找成功时查找次数不会超过判定树的深度。$n$个节点的判定树的深度为$log_{2}^{n}+1$。

  平均成功查找次数ASL= (4 x 4+4x3+2x2+1)/11 = 3。(节点的深度称上总节点数，除以节点个数)。在这种情况下是很容易对树进行删增等操作。

树

树的定义

  树(Tree) ：由$n \geq 0$个结点构成的有限集合。当$n=0$时，称为空树；对于任一棵非空树（$n> 0$），它具备以下性质：

• 树中有一个称为“根(Root)”的特殊结点，用 $r$ 表示；
• 其余结点可分为$m(m>0)$个互不相交的有限集$T_{1}，T_{2}，\cdots，T_{m}$，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树(SubTree)”。

  这里要注意以下三点：

1. 子树是不相交的；
2. 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
3. 一棵$N$个结点的树有$N-1$条边。

  树的一些基本术语

1. 结点的度(Degree) ：结点的子树个数。
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数
3. 叶结点(Leaf) ：度为0的结点
4. 父结点(Parent) ：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
5. 子结点(Child) ：若$A$结点是$B$结点的父结点，则称$B$结点是$A$结点的子结点；子结点也称孩子结点。
6. 兄弟结点(Sibling) ：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点。
7. 路径和路径长度：从结点$n$，到$n$的路径为一个结点序列$n_{1}$，$n_{2}$ $\cdots$ ，$n_{k}$，$n_{i}$是$n_{i+1}$的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度。
8. 祖先结点(Ancestor)：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。
9. 子孙结点(Descendant)：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙。
10. 结点的层次(Level) ：规定根结点在1层，其它任一结点的层数是其父结点的层数加1。
11. 树的深度(Depth) ：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度。

树的表示

  通常树的表示如下图所示：

  也可采用儿子-兄弟表示法：

  将其旋转45度后就变成了二叉树：