數據結構與算法（九）：遞歸原理及其Python實現

一、什麼是“遞歸”

遞歸，顧名思義，包括“遞”和“歸”兩個過程，“遞”的過程就是將原問題一層一層分解下去直到找到終止條件，“歸”的過程就是從終止條件開始一層一層向上迴歸直到歸併到原問題。

可以看出，遞歸需要滿足三個條件：

• 原問題能夠分解爲若干個子問題；
• 子問題與原問題求解思路相同，只是數據規模不同；
• 存在終止條件；

一個經典的遞歸問題是：

假如這裏有 n 個臺階，每次你可以跨 1 個臺階或者 2 個臺階，請問走這 n 個臺階有多少種走法？

求解該問題，可按照遞歸三個條件來進行：

1. 原問題可以分解爲兩個子問題：下一步走一個臺階、下一步走兩個臺階；
2. 子問題與原問題求解思路相同，只是數據規模不同：；
3. 存在終止條件：；

二、Python使用遞歸實現走臺階

基於上述原理，可以輕鬆實現一個遞歸代碼：

def walk_steps(n:int)->int:
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    return walk_steps(n-1) + walk_steps(n-2)

print(walk_steps(7))

三、遞歸轉循環

遞歸編程思想簡單，幾行代碼即可實現一個人腦思考不過來的遞歸問題，但卻有着致命缺點：堆棧溢出、空間複雜度高！

在編程語言進行函數調用時，採用棧來存放臨時變量，因此對於遞歸函數，其子問題的返回值都會臨時存放在棧中，當數據規模變大時，其空間複雜度將極大地提高，容易造成堆棧溢出，函數求解將變得極其困難。

對於上述實現的遞歸代碼，在小數據量時，感覺不到困難，但當數據規模（即總的臺階數n）變大時（大概超過40時）求解將變得極其緩慢，且繼續增大到一定規模，就會報堆棧溢出的錯誤：

RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison

因此，對於某些遞歸函數，如果可以轉化爲非遞歸，則能大大降低其空間複雜度，同時避免堆棧溢出。下面使用循環方式實現階梯走法計算：

def walk_steps_circle(n:int)->int:
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    step1 = 1
    step2 = 2
    step_total = 0
    for i in range(3,n+1):
        step_total = step1 + step2
        step1 = step2
        step2 = step_total
    return step_total

walk_steps_circle(7)

大家可以在自己機器上試一下，分別給兩個函數傳入一個較大的參數，看看運行結果，即可發現其明顯的差別。